質因數分解計算機

輸入計算

要分解的數字

結果

Prime Factorization of 360

2^3 × 3^2 × 5

指數式表示

數字	360
展開式	2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5
相異質因數數量	3
質因數總數（含重數）	6
是否為質數？	No

什麼是質因數分解？

質因數分解就是把一個整數拆解成相乘後能得到它的那一組質數。所謂質數，是指大於 1，且除了 1 與本身之外沒有其他因數的數（例如 2、3、5、7、11……）。根據「算術基本定理」，每一個大於 1 的整數都只有唯一一種質因數分解方式（因數的排列順序不計）。

因數樹不斷分解一個數，直到只剩下質數。

如何使用這個計算機

輸入任何 2 以上的整數，再按下計算即可。本工具會以兩種格式呈現分解結果：一是展開式（把每個質因數逐一列出），二是較簡潔的指數式（將重複出現的質因數合併寫成次方）。此外，它還會告訴你出現了幾個相異質因數、含重數的質因數總個數，以及這個數本身是否為質數。

公式原理說明

本計算機採用試除法。它從最小的質數 2 開始，只要能整除，就反覆用每一個候選因數 \(d\) 去除這個數，並記錄各因數整除的次數。試除只需做到 \(\sqrt{n}\) 為止，因為若在平方根以下都找不到任何因數，剩下的數本身必定是質數。最終結果會表示成 $$n = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \cdots \times p_k^{a_k}$$

指數形式將重複的質數歸併為質數的次方。

實例演算

以 \(n = 360\) 為例。先除以 2 三次：360 → 180 → 90 → 45（\(2^3\)）。再除以 3 兩次：45 → 15 → 5（\(3^2\)）。最後除以 5 一次：5 → 1（\(5^1\)）。因此 $$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$$ 展開後就是 \(2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5\)：共有三個相異質因數、總計六個質因數。

常見問題

為什麼數字至少要是 2？因為 0 和 1 沒有質因數分解——1 既不是質數，也不是合數。

「含重數」是什麼意思？就是每個質因數出現幾次就計算幾次。以 360 為例，總數是 6（三個 2、兩個 3、一個 5）。

1 是質數嗎？不是。依定義，質數必須恰好有兩個相異的正因數，而 1 只有一個因數。