什麼是費氏數列？
費氏數列（Fibonacci sequence）是數學中最著名的數列之一。它從 0 和 1 開始，之後的每一個數字都等於前面兩個數字相加：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34，依此類推。只要輸入任一非負的項次，這個計算機就能算出 \(F(n)\)——也就是第 \(n\) 項——並一併顯示到該項為止所有項的累計總和，以及數列逐漸逼近的黃金比例 \(\varphi\)。
如何使用這個計算機
輸入項次 \(n\)（介於 0 到 92 之間的整數），計算機便會立即回傳 \(F(n)\)。之所以將上限設在 92，是為了讓結果在標準的 64 位元精度下保持完全精確；超過這個範圍，數值就會變成近似值。結果區也會顯示累計總和 \(F(0)+F(1)+\dots+F(n)\)，這個總和剛好等於 \(F(n+2) - 1\)。
公式說明
費氏數列的定義是遞迴關係式 $$F(n) = F(n-1) + F(n-2),\quad F(0)=0,\ F(1)=1$$ 初始值為 \(F(0)=0\) 與 \(F(1)=1\)。此外還有一個封閉形式的公式，稱為比奈公式（Binet's formula）：$$F(n) = \frac{\varphi^{n} - \psi^{n}}{\sqrt{5}},\quad \varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}$$ 其中 \(\varphi = \frac{1+\sqrt5}{2} \approx 1.618\) 就是黃金比例，而 \(\psi = \frac{1-\sqrt5}{2}\) 則是它的共軛數。隨著 \(n\) 越來越大，相鄰兩項的比值 \(F(n+1)/F(n)\) 會逐漸收斂到 \(\varphi\)。
實際範例
假設 \(n = 10\)。逐項推算數列：\(F(2)=1\)、\(F(3)=2\)、\(F(4)=3\)、\(F(5)=5\)、\(F(6)=8\)、\(F(7)=13\)、\(F(8)=21\)、\(F(9)=34\)、\(F(10)=55\)。因此 $$F(10) = 55$$ 而從 \(F(0)\) 到 \(F(10)\) 的總和為 $$F(12) - 1 = 144 - 1 = 143$$
常見問題
數列是從 0 還是 1 開始？本計算機採用標準慣例 \(F(0)=0\)、\(F(1)=1\)，所以 \(F(2)=1\)。
為什麼 \(n\) 的上限是 92？\(F(92)\) 是能完整容納在 64 位元有號整數中的最大費氏數，項次再大就會喪失精度。
黃金比例和費氏數列有什麼關聯？把每一個費氏數除以它的前一項，得到的值會越來越接近 \(\varphi \approx 1.6180339887\)。
