Dãy Fibonacci là gì?
Dãy Fibonacci là một trong những quy luật nổi tiếng nhất trong toán học. Dãy bắt đầu bằng 0 và 1, và mỗi số tiếp theo đều bằng tổng của hai số liền trước: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, và cứ thế tiếp diễn. Công cụ này trả về \(F(n)\) — số hạng thứ \(n\) — cho bất kỳ chỉ số không âm nào bạn chọn, kèm theo tổng lũy tiến của tất cả các số hạng tính đến vị trí đó và tỷ lệ vàng \(\varphi\) mà dãy số dần tiến tới.
Cách sử dụng máy tính
Bạn chỉ cần nhập chỉ số số hạng \(n\) (một số nguyên từ 0 đến 92) và máy tính sẽ trả về \(F(n)\) ngay tức thì. Giới hạn trên là 92 nhằm đảm bảo kết quả chính xác tuyệt đối trong độ chính xác 64-bit tiêu chuẩn; vượt quá ngưỡng này, các giá trị sẽ chỉ còn là xấp xỉ. Bảng kết quả cũng hiển thị tổng lũy tiến \(F(0)+F(1)+\dots+F(n)\), giá trị này tiện lợi thay đúng bằng \(F(n+2) - 1\).
Giải thích công thức
Quy tắc định nghĩa của dãy là công thức truy hồi $$F(n) = F(n-1) + F(n-2)$$ với hai giá trị khởi đầu \(F(0)=0\) và \(F(1)=1\). Ngoài ra còn có một công thức dạng đóng được gọi là công thức Binet: $$F(n) = \frac{\varphi^{n} - \psi^{n}}{\sqrt{5}}$$ trong đó \(\varphi = \frac{1+\sqrt5}{2} \approx 1{,}618\) là tỷ lệ vàng và \(\psi = \frac{1-\sqrt5}{2}\) là số liên hợp của nó. Khi \(n\) càng lớn, tỷ số giữa hai số Fibonacci liên tiếp \(F(n+1)/F(n)\) càng tiến gần đến \(\varphi\).
Ví dụ minh họa
Giả sử \(n = 10\). Lần lượt xây dựng dãy số: \(F(2)=1\), \(F(3)=2\), \(F(4)=3\), \(F(5)=5\), \(F(6)=8\), \(F(7)=13\), \(F(8)=21\), \(F(9)=34\), \(F(10)=55\). Vậy \(F(10) = 55\). Tổng từ \(F(0)\) đến \(F(10)\) là $$F(12) - 1 = 144 - 1 = 143.$$
Câu hỏi thường gặp
Dãy bắt đầu từ 0 hay từ 1? Máy tính này sử dụng quy ước chuẩn \(F(0)=0\) và \(F(1)=1\), do đó \(F(2)=1\).
Vì sao \(n\) bị giới hạn ở mức 92? \(F(92)\) là số Fibonacci lớn nhất vẫn vừa khít một cách chính xác trong một số nguyên có dấu 64-bit; với các chỉ số lớn hơn, kết quả sẽ mất đi độ chính xác.
Tỷ lệ vàng liên hệ với Fibonacci như thế nào? Lấy mỗi số Fibonacci chia cho số liền trước, bạn sẽ thu được một giá trị ngày càng tiến gần đến \(\varphi \approx 1{,}6180339887\).
