Fibonacci dizisi nedir?
Fibonacci dizisi, matematiğin en bilinen örüntülerinden biridir. 0 ve 1 ile başlar; sonraki her sayı kendinden önceki iki sayının toplamına eşittir: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ve böyle devam eder. Bu hesaplama aracı, seçtiğiniz herhangi bir negatif olmayan indis için \(F(n)\) yani n'inci terimi verir; ayrıca o noktaya kadar olan tüm terimlerin birikimli toplamını ve dizinin yaklaştığı altın oran \(\varphi\) değerini de gösterir.
Bu hesaplama aracı nasıl kullanılır?
Terim indisi \(n\) değerini (0 ile 92 arasında bir tam sayı) girin; araç size \(F(n)\) sonucunu anında versin. 92 üst sınırı, sonuçların standart 64-bit hassasiyette tam doğru kalmasını sağlar; bu değerin ötesinde sonuçlar yaklaşık hale gelir. Sonuç paneli ayrıca \(F(0)+F(1)+\cdots+F(n)\) birikimli toplamını da gösterir; bu toplam pratik bir şekilde \(F(n+2) - 1\) değerine eşittir.
Formülün açıklaması
Diziyi tanımlayan kural, \(F(0)=0\) ve \(F(1)=1\) başlangıç değerleriyle birlikte yineleme bağıntısıdır:
$$F(n) = F(n-1) + F(n-2),\quad F(0)=0,\ F(1)=1$$Ayrıca Binet formülü olarak bilinen kapalı bir form da vardır:
$$F(n) = \frac{\varphi^{n} - \psi^{n}}{\sqrt{5}},\quad \varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}$$Burada \(\varphi = \frac{1+\sqrt5}{2} \approx 1{,}618\) altın orandır ve \(\psi = \frac{1-\sqrt5}{2}\) onun eşleniğidir. \(n\) büyüdükçe, ardışık Fibonacci sayılarının oranı \(F(n+1)/F(n)\) giderek \(\varphi\) değerine yaklaşır.
Örnek çözüm
\(n = 10\) olduğunu varsayalım. Diziyi adım adım kuralım: \(F(2)=1\), \(F(3)=2\), \(F(4)=3\), \(F(5)=5\), \(F(6)=8\), \(F(7)=13\), \(F(8)=21\), \(F(9)=34\), \(F(10)=55\). Yani \(F(10) = 55\). \(F(0)\)'dan \(F(10)\)'a kadar olan toplam ise $$F(12) - 1 = 144 - 1 = 143$$ 'tür.
Sıkça sorulan sorular
Dizi 0'dan mı yoksa 1'den mi başlar? Bu araç standart kuralı kullanır: \(F(0)=0\) ve \(F(1)=1\), dolayısıyla \(F(2)=1\) olur.
n neden 92 ile sınırlı? \(F(92)\), 64-bit işaretli bir tam sayıya tam olarak sığan en büyük Fibonacci sayısıdır; daha büyük indislerde hassasiyet kaybolur.
Altın oranın Fibonacci ile bağlantısı nedir? Her Fibonacci sayısını bir öncekine böldüğünüzde, sonuç giderek \(\varphi \approx 1{,}6180339887\) değerine yaklaşır.
