Что такое последовательность Фибоначчи?
Последовательность Фибоначчи — одна из самых известных закономерностей в математике. Она начинается с 0 и 1, а каждое следующее число равно сумме двух предыдущих: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 и так далее. Этот калькулятор находит \(F(n)\) — n-й член ряда — для любого выбранного вами неотрицательного индекса, а заодно показывает накопленную сумму всех членов до этого номера и золотое сечение \(\varphi\), к которому стремится последовательность.
Как пользоваться калькулятором
Введите индекс члена \(n\) (целое число от 0 до 92) — и калькулятор мгновенно выдаст \(F(n)\). Верхняя граница в 92 нужна для того, чтобы результаты оставались точными в рамках стандартной 64-битной арифметики; за её пределами значения становятся приближёнными. В панели результатов также выводится накопленная сумма \(F(0)+F(1)+...+F(n)\), которая удобным образом равна \(F(n+2) - 1\).
Разбор формулы
Основное правило — рекуррентное соотношение $$F(n) = F(n-1) + F(n-2),\quad F(0)=0,\ F(1)=1$$ с начальными значениями \(F(0)=0\) и \(F(1)=1\). Существует и замкнутая формула, известная как формула Бине: $$F(n) = \frac{\varphi^{n} - \psi^{n}}{\sqrt{5}},\quad \varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}$$ где \(\varphi = \frac{1+\sqrt5}{2} \approx 1{,}618\) — золотое сечение, а \(\psi = \frac{1-\sqrt5}{2}\) — сопряжённое к нему число. С ростом \(n\) отношение соседних чисел Фибоначчи \(F(n+1)/F(n)\) сходится к \(\varphi\).
Пример расчёта
Пусть \(n = 10\). Строим последовательность: \(F(2)=1\), \(F(3)=2\), \(F(4)=3\), \(F(5)=5\), \(F(6)=8\), \(F(7)=13\), \(F(8)=21\), \(F(9)=34\), \(F(10)=55\). Итак, \(F(10) = 55\). Сумма членов от \(F(0)\) до \(F(10)\) равна $$F(12) - 1 = 144 - 1 = 143$$
Частые вопросы
С чего начинается последовательность — с 0 или с 1? Этот калькулятор использует стандартное соглашение \(F(0)=0\) и \(F(1)=1\), поэтому \(F(2)=1\).
Почему n ограничено числом 92? \(F(92)\) — это наибольшее число Фибоначчи, которое точно помещается в 64-битное знаковое целое; при больших индексах точность теряется.
Как золотое сечение связано с числами Фибоначчи? Если делить каждое число Фибоначчи на предыдущее, результат всё ближе и ближе приближается к \(\varphi \approx 1{,}6180339887\).
