Что такое последовательность Фибоначчи?
Последовательность Фибоначчи — один из самых известных числовых рядов в математике. Она начинается с 0 и 1, а каждое следующее число равно сумме двух предыдущих: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 и так далее. Наш калькулятор Фибоначчи находит значение n-го члена ряда, а также накопленную сумму всех членов вплоть до него.
Как пользоваться калькулятором
Введите номер члена n (индекс нужного числа, отсчёт начинается с 0) и нажмите «Рассчитать». Калькулятор выдаст F(n), накопленную сумму F(0)+F(1)+…+F(n) и приближённую оценку по формуле Бине через золотое сечение. Поддерживаются значения до n = 90 с полной целочисленной точностью.
Разбираемся в формуле
К одному и тому же ответу ведут два способа. Самый простой — рекуррентное правило \(F(n) = F(n-1) + F(n-2)\). Более изящный — замкнутая формула Бине, в которой используется золотое сечение \(\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618\):
$$F_{\text{n}} = \frac{\varphi^{\text{n}} - (1-\varphi)^{\text{n}}}{\sqrt{5}}, \qquad \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$$
Поскольку второе слагаемое \(\psi^{\text{n}}\) стремится к нулю, значение \(F(n)\) оказывается крайне близким к \(\frac{\varphi^{\text{n}}}{\sqrt{5}}\), и округление до ближайшего целого даёт точное число Фибоначчи. Этот калькулятор вычисляет результат итеративно для абсолютной точности и дополнительно показывает оценку по Бине для сравнения.
Разбор примера
Возьмём \(n = 10\): ряд выглядит как 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. Значит, \(F(10) = 55\). Сумма первых одиннадцати членов (от F(0) до F(10)) равна $$\sum_{i=0}^{10} F_i = F_{12} - 1 = 144 - 1 = 143.$$ Оценка по Бине $$\frac{\varphi^{10}}{\sqrt{5}} \approx 55{,}0036,$$ что округляется до 55.
Частые вопросы
С чего начинается ряд — с 0 или с 1? В этом калькуляторе принята стандартная договорённость \(F(0)=0\) и \(F(1)=1\), поэтому позиция 0 возвращает 0.
Почему n ограничено числом 90? \(F(90)\) составляет около \(2{,}88 \times 10^{18}\) — это близко к пределу точной 64-битной целочисленной арифметики. За этой границей округление чисел с плавающей точкой может привести к ошибкам.
Какова связь с золотым сечением? Отношение соседних чисел Фибоначчи \(\frac{F(n+1)}{F(n)}\) с ростом \(n\) стремится к \(\varphi \approx 1{,}6180339887\).
