피보나치 수열이란?
피보나치 수열은 수학에서 가장 유명한 패턴 중 하나입니다. 0과 1로 시작해, 그다음 수는 앞선 두 수를 더한 값이 됩니다: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34… 이런 식으로 이어지죠. 이 피보나치 계산기는 n번째 항의 값과 함께 그 항까지의 누적 합을 한 번에 구해 줍니다.
계산기 사용법
구하고 싶은 항의 위치 n(0부터 시작하는 인덱스)을 입력하고 실행하세요. 계산기는 F(n), 누적 합 F(0)+F(1)+…+F(n), 그리고 비네 공식으로 구한 황금비 추정값을 함께 보여 줍니다. n = 90까지는 정수로 완벽하게 정확한 값을 지원합니다.
공식 설명
두 가지 방법 모두 같은 답을 줍니다. 가장 간단한 방법은 점화식 \(F(n) = F(n-1) + F(n-2)\)입니다. 가장 우아한 닫힌 형태는 비네 공식으로, 황금비 \(\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618\)을 사용합니다.
$$F_{\text{n}} = \frac{\varphi^{\text{n}} - (1-\varphi)^{\text{n}}}{\sqrt{5}}, \qquad \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$$두 번째 항 \(\psi^{\text{n}}\)이 0에 가까워지며 점점 작아지기 때문에, F(n)은 \(\varphi^{\text{n}}/\sqrt{5}\)에 매우 가까워집니다. 따라서 가장 가까운 정수로 반올림하면 정확한 피보나치 수가 나오죠. 이 계산기는 완벽한 정밀도를 위해 반복 방식으로 결과를 계산하고, 비교를 위해 비네 추정값도 함께 표시합니다.
예제 풀이
n = 10인 경우: 수열은 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55가 됩니다. 따라서 \(F(10) = 55\)입니다. 처음 11개 항(F(0)부터 F(10)까지)의 합은 $$\sum_{i=0}^{10} F_i = F_{12} - 1 = 144 - 1 = 143$$입니다. 비네 추정값은 \(\varphi^{10}/\sqrt{5} \approx 55.0036\)으로, 반올림하면 55가 됩니다.
자주 묻는 질문
수열은 0부터 시작하나요, 1부터 시작하나요? 이 도구는 표준 관례인 \(F(0)=0\), \(F(1)=1\)을 사용하므로, 위치 0은 0을 반환합니다.
왜 n을 90까지로 제한하나요? F(90)은 약 \(2.88 \times 10^{18}\)로, 64비트 정수 연산의 정확한 한계에 가깝습니다. 이를 넘어가면 부동소수점 반올림으로 인해 오차가 생길 수 있습니다.
황금비와는 어떤 관련이 있나요? 연속한 피보나치 수의 비 \(F(n+1)/F(n)\)은 n이 커질수록 \(\varphi \approx 1.6180339887\)에 수렴합니다.
