フィボナッチ数列とは？
フィボナッチ数列は、数学で最も有名なパターンのひとつです。0と1から始まり、次の数は直前の2つの数の和になります。つまり 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34… と続いていきます。このフィボナッチ計算機では、n番目の項の値に加えて、その項までのすべての項を足し合わせた累計合計も求められます。
計算機の使い方
求めたい数の位置 n（0から数えたインデックス）を入力して送信してください。計算機は F(n)、累計合計 F(0)+F(1)+…+F(n)、そしてビネの公式による黄金比からの推定値を返します。n = 90 まで、整数として完全な精度で計算できます。
公式の解説
同じ答えを導く方法が2つあります。最もシンプルなのは漸化式 \(F(n) = F(n-1) + F(n-2)\) です。一方、美しい閉じた式が ビネの公式で、黄金比 \(\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618\) を使います。
$$F_{\text{n}} = \frac{\varphi^{\text{n}} - (1-\varphi)^{\text{n}}}{\sqrt{5}}, \qquad \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$$
第2項 \(\psi^{\text{n}}\) は0に向かって小さくなっていくため、F(n) は \(\varphi^{\text{n}}/\sqrt{5}\) にきわめて近い値となり、最も近い整数に丸めると正確なフィボナッチ数が得られます。この計算機は反復計算によって完全な精度で結果を求め、あわせて比較用にビネの公式による推定値も表示します。
計算例
n = 10 の場合：数列は 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 となるので、\(F(10) = 55\) です。最初の11項（F(0) から F(10) まで）の合計は次のようになります。
$$\sum_{i=0}^{10} F_i = F_{12} - 1 = 144 - 1 = 143$$
ビネの公式による推定値は \(\varphi^{10}/\sqrt{5} \approx 55.0036\) で、丸めると 55 になります。
よくある質問
数列は0と1のどちらから始まりますか？ このツールは標準的な慣例にしたがい F(0)=0、F(1)=1 としています。したがって位置0は0を返します。
なぜ n は90までなのですか？ F(90) は約 \(2.88 \times 10^{18}\) で、64ビット整数で正確に扱える上限に近い値です。これを超えると浮動小数点の丸めによって誤差が生じるおそれがあります。
黄金比とはどんな関係があるのですか？ 隣り合うフィボナッチ数の比 \(F(n+1)/F(n)\) は、n が大きくなるにつれて \(\varphi \approx 1.6180339887\) に収束していきます。
