Qu'est-ce que la suite de Fibonacci ?
La suite de Fibonacci est l'un des motifs les plus célèbres des mathématiques. Elle débute par 0 et 1, et chaque nombre suivant correspond à la somme des deux qui le précèdent : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, et ainsi de suite. Ce calculateur de Fibonacci détermine la valeur du nᵉ terme, ainsi que la somme cumulée de tous les termes jusqu'à ce rang.
Comment utiliser le calculateur
Saisissez le rang n (l'indice du nombre recherché, en commençant à 0), puis validez. Le calculateur renvoie F(n), la somme cumulée F(0)+F(1)+…+F(n) et l'estimation par le nombre d'or issue de la formule de Binet. Les valeurs jusqu'à n = 90 sont prises en charge avec une précision entière parfaite.
La formule expliquée
Deux méthodes aboutissent au même résultat. La plus simple est la règle récursive \(F(n) = F(n-1) + F(n-2)\). La forme close, plus élégante, est la formule de Binet, qui fait intervenir le nombre d'or \(\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618\) :
$$F_{\text{n}} = \frac{\varphi^{\text{n}} - (1-\varphi)^{\text{n}}}{\sqrt{5}}, \qquad \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$$Comme le second terme \(\psi^{\text{n}}\) tend vers zéro, F(n) est extrêmement proche de \(\varphi^{\text{n}}/\sqrt{5}\) : il suffit donc d'arrondir à l'entier le plus proche pour retrouver exactement le nombre de Fibonacci. Ce calculateur effectue le calcul de manière itérative pour une précision parfaite et affiche également l'estimation de Binet à titre de comparaison.
Exemple concret
Pour n = 10 : la suite est 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. On a donc \(F(10) = 55\). La somme des onze premiers termes (de F(0) à F(10)) vaut :
$$\sum_{i=0}^{10} F_i = F_{12} - 1 = 144 - 1 = 143$$L'estimation de Binet \(\varphi^{10}/\sqrt{5} \approx 55{,}0036\), qui s'arrondit à 55.
Questions fréquentes
La suite commence-t-elle à 0 ou à 1 ? Cet outil applique la convention standard F(0)=0 et F(1)=1 : le rang 0 renvoie donc 0.
Pourquoi limiter n à 90 ? F(90) vaut environ \(2{,}88 \times 10^{18}\), soit la limite de l'arithmétique exacte sur entiers 64 bits. Au-delà, les arrondis en virgule flottante pourraient introduire des erreurs.
Quel est le lien avec le nombre d'or ? Le rapport de deux nombres de Fibonacci consécutifs \(F(n+1)/F(n)\) converge vers \(\varphi \approx 1{,}6180339887\) à mesure que n devient grand.
