Qu'est-ce que la suite de Fibonacci ?
La suite de Fibonacci est l'un des motifs les plus célèbres des mathématiques. Elle commence par 0 et 1, puis chaque nombre suivant correspond à la somme des deux précédents : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, et ainsi de suite. Ce calculateur renvoie \(F(n)\) — le n-ième terme — pour l'indice positif ou nul de votre choix, accompagné de la somme cumulée de tous les termes jusqu'à ce rang et du nombre d'or \(\varphi\) vers lequel la suite tend.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez l'indice du terme n (un entier compris entre 0 et 92) et le calculateur affiche \(F(n)\) instantanément. La limite supérieure de 92 garantit des résultats exacts dans la précision standard 64 bits ; au-delà, les valeurs deviennent des approximations. Le panneau de résultats indique aussi la somme cumulée \(F(0)+F(1)+\dots+F(n)\), qui vaut commodément \(F(n+2) - 1\).
La formule expliquée
La règle de définition est la relation de récurrence $$F(n) = F(n-1) + F(n-2),\quad F(0)=0,\ F(1)=1$$ avec les valeurs initiales \(F(0)=0\) et \(F(1)=1\). Il existe également une forme close, connue sous le nom de formule de Binet : $$F(n) = \frac{\varphi^{n} - \psi^{n}}{\sqrt{5}},\quad \varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}$$ où \(\varphi = \frac{1+\sqrt5}{2} \approx 1{,}618\) est le nombre d'or et \(\psi = \frac{1-\sqrt5}{2}\) son conjugué. À mesure que n augmente, le rapport de deux nombres de Fibonacci consécutifs \(F(n+1)/F(n)\) converge vers \(\varphi\).
Exemple concret
Prenons n = 10. En construisant la suite : \(F(2)=1\), \(F(3)=2\), \(F(4)=3\), \(F(5)=5\), \(F(6)=8\), \(F(7)=13\), \(F(8)=21\), \(F(9)=34\), \(F(10)=55\). Donc \(F(10) = 55\). La somme de F(0) à F(10) vaut $$F(12) - 1 = 144 - 1 = 143$$
FAQ
La suite commence-t-elle à 0 ou à 1 ? Ce calculateur utilise la convention standard \(F(0)=0\) et \(F(1)=1\), de sorte que \(F(2)=1\).
Pourquoi n est-il limité à 92 ? \(F(92)\) est le plus grand nombre de Fibonacci qui tient exactement dans un entier signé sur 64 bits ; au-delà, on perdrait en précision.
Quel est le lien entre le nombre d'or et Fibonacci ? En divisant chaque nombre de Fibonacci par le précédent, on obtient une valeur qui se rapproche de plus en plus de \(\varphi \approx 1{,}6180339887\).
