¿Qué es la sucesión de Fibonacci?
La sucesión de Fibonacci es uno de los patrones más célebres de las matemáticas. Comienza con 0 y 1, y cada número siguiente es la suma de los dos anteriores: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, y así sucesivamente. Esta calculadora te devuelve \(F(n)\) —el n-ésimo término— para cualquier índice no negativo que elijas, además de la suma acumulada de todos los términos hasta ese punto y la razón áurea \(\varphi\) a la que tiende la sucesión.
Cómo usar esta calculadora
Introduce el índice del término n (un número entero del 0 al 92) y la calculadora te dará \(F(n)\) al instante. El límite superior de 92 garantiza resultados exactos dentro de la precisión estándar de 64 bits; a partir de ahí, los valores se convierten en aproximaciones. El panel de resultados también muestra la suma acumulada \(F(0)+F(1)+\dots+F(n)\), que, curiosamente, equivale a \(F(n+2) - 1\).
La fórmula explicada
La regla que la define es la relación de recurrencia $$F(n) = F(n-1) + F(n-2),\quad F(0)=0,\ F(1)=1$$ También existe una expresión cerrada conocida como fórmula de Binet: $$F(n) = \frac{\varphi^{n} - \psi^{n}}{\sqrt{5}},\quad \varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}$$ donde \(\varphi = \frac{1+\sqrt5}{2} \approx 1{,}618\) es la razón áurea y \(\psi = \frac{1-\sqrt5}{2}\) es su conjugado. A medida que n crece, el cociente de dos números de Fibonacci consecutivos \(F(n+1)/F(n)\) converge hacia \(\varphi\).
Ejemplo resuelto
Supongamos que \(n = 10\). Construyendo la sucesión: \(F(2)=1\), \(F(3)=2\), \(F(4)=3\), \(F(5)=5\), \(F(6)=8\), \(F(7)=13\), \(F(8)=21\), \(F(9)=34\), \(F(10)=55\). Por tanto, $$F(10) = 55$$ La suma de \(F(0)\) hasta \(F(10)\) es $$F(12) - 1 = 144 - 1 = 143$$
Preguntas frecuentes
¿La sucesión empieza en 0 o en 1? Esta calculadora utiliza la convención estándar \(F(0)=0\) y \(F(1)=1\), de modo que \(F(2)=1\).
¿Por qué n está limitado a 92? \(F(92)\) es el mayor número de Fibonacci que cabe exactamente en un entero con signo de 64 bits; con índices mayores se perdería precisión.
¿Qué relación tiene la razón áurea con Fibonacci? Al dividir cada número de Fibonacci entre el anterior, se obtiene un valor que se aproxima cada vez más a \(\varphi \approx 1{,}6180339887\).
