ما هي متتالية فيبوناتشي؟
تُعدّ متتالية فيبوناتشي من أشهر الأنماط في الرياضيات على الإطلاق. تبدأ المتتالية بالعددين 0 و1، ويكون كل عدد تالٍ مساويًا لمجموع العددين السابقين له مباشرة: 0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، وهكذا. تُعيد هذه الحاسبة قيمة \(F(n)\) — أي الحد رقم \(n\) — لأي ترتيب غير سالب تختاره، إلى جانب المجموع التراكمي لكل الحدود حتى تلك النقطة، والنسبة الذهبية \(\varphi\) التي تقترب منها المتتالية.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل ترتيب الحد \(n\) (عدد صحيح من 0 إلى 92) لتعطيك الحاسبة قيمة \(F(n)\) في الحال. وقد وُضع الحد الأقصى عند 92 للحفاظ على دقة النتائج تمامًا ضمن نطاق الدقة القياسية ذات 64 بت؛ وما بعد ذلك تصبح القيم تقريبية. كما تُظهر لوحة النتائج المجموع التراكمي \(F(0)+F(1)+...+F(n)\)، الذي يساوي بشكل عمليّ \(F(n+2) - 1\).
شرح الصيغة
القاعدة الأساسية هي العلاقة التراجعية
$$F(n) = F(n-1) + F(n-2)$$مع القيمتين الابتدائيتين \(F(0)=0\) و\(F(1)=1\). وهناك أيضًا صيغة مغلقة تُعرف بصيغة بينيه (Binet)، وهي
$$F(n) = \frac{\varphi^{n} - \psi^{n}}{\sqrt{5}}$$حيث \(\varphi = \frac{1+\sqrt5}{2} \approx 1.618\) هي النسبة الذهبية، و\(\psi = \frac{1-\sqrt5}{2}\) هي مرافقتها. وكلما كبرت قيمة \(n\)، اقتربت نسبة العددين المتتاليين \(F(n+1)/F(n)\) أكثر فأكثر من \(\varphi\).
مثال محلول
لنفترض أن \(n = 10\). عند بناء المتتالية: \(F(2)=1\)، \(F(3)=2\)، \(F(4)=3\)، \(F(5)=5\)، \(F(6)=8\)، \(F(7)=13\)، \(F(8)=21\)، \(F(9)=34\)، \(F(10)=55\). إذن \(F(10) = 55\). أما مجموع الحدود من \(F(0)\) حتى \(F(10)\) فهو
$$F(12) - 1 = 144 - 1 = 143$$الأسئلة الشائعة
هل تبدأ المتتالية من 0 أم من 1؟ تعتمد هذه الحاسبة العُرف القياسي \(F(0)=0\) و\(F(1)=1\)، وبالتالي \(F(2)=1\).
لماذا يتوقف \(n\) عند 92؟ العدد \(F(92)\) هو أكبر عدد فيبوناتشي يمكن تمثيله بدقة تامة في عدد صحيح ذي إشارة من 64 بت؛ والقيم الأكبر منه تفقد دقتها.
ما علاقة النسبة الذهبية بأعداد فيبوناتشي؟ عند قسمة كل عدد فيبوناتشي على العدد الذي يسبقه، تحصل على قيمة تقترب شيئًا فشيئًا من \(\varphi \approx 1.6180339887\).
