什么是斐波那契数列？
斐波那契数列是数学中最著名的规律之一。它以 0 和 1 开头，从第三项起，每一项都等于前两项之和：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34，以此类推。这款斐波那契数列计算器不仅能算出第 n 项的数值，还能给出截至该项为止所有项的累加和。
如何使用本计算器
输入项的位置 n（即你想求的那个数的序号，从 0 开始计数），然后提交即可。计算器会返回 F(n)、累加和 F(0)+F(1)+…+F(n)，以及由比内公式得出的黄金分割估算值。本工具支持 \(n \le 90\)，并保证整数结果完全精确。
公式详解
有两种方法可以得到同样的结果。最简单的是递推规则 \(F(n) = F(n-1) + F(n-2)\)。更优雅的是封闭形式的 比内公式（Binet's formula），它用到黄金分割比 \(\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618\)。其完整形式为
$$F_{\text{n}} = \frac{\varphi^{\text{n}} - (1-\varphi)^{\text{n}}}{\sqrt{5}}, \qquad \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$$
由于公式中的第二项 \(\psi^{\text{n}}\) 会迅速趋近于零，F(n) 与 \(\frac{\varphi^{\text{n}}}{\sqrt{5}}\) 极为接近，因此四舍五入取最近的整数就能得到精确的斐波那契数。本计算器采用迭代方式计算结果以确保完全精确，同时也展示比内公式的估算值供你对比。
计算实例
以 \(n = 10\) 为例：数列依次为 0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，因此 \(F(10) = 55\)。前十一项（即 F(0) 到 F(10)）之和为
$$\sum_{i=0}^{10} F_i = F_{12} - 1 = 144 - 1 = 143$$
比内估算值 \(\frac{\varphi^{10}}{\sqrt{5}} \approx 55.0036\)，四舍五入后正好是 55。
常见问题
数列是从 0 还是从 1 开始？本工具采用标准约定 \(F(0)=0\)、\(F(1)=1\)，所以位置 0 返回的结果是 0。
为什么 n 上限设为 90？F(90) 约为 \(2.88 \times 10^{18}\)，已接近 64 位整数精确运算的极限。超过这一范围后，浮点数的舍入误差可能导致结果出错。
它和黄金分割比有什么关系？随着 n 不断增大，相邻两项斐波那契数之比 \(\frac{F(n+1)}{F(n)}\) 会逐渐收敛于黄金分割比 \(\varphi \approx 1.6180339887\)。
