什麼是費氏數列？
費氏數列（又稱斐波那契數列）是數學中最著名的數字規律之一。它從 0 與 1 開始，之後每一項都是前兩項的總和：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34，依此類推。這款費氏數列計算機能幫你求出第 n 項的數值，並算出到該項為止所有項的累計總和。
計算機怎麼用？
輸入項次 n（你想查詢的數字位置，從 0 開始計算）後送出即可。計算機會回傳 F(n)、累計總和 F(0)+F(1)+…+F(n)，以及由比奈公式推算的黃金比例估計值。本工具支援 n 最大到 90，並保證整數運算完全精確。
公式解析
有兩種方法都能得到相同答案。最直觀的是遞迴規則 \(F(n) = F(n-1) + F(n-2)\)。而最優雅的封閉形式則是 比奈公式（Binet's formula），它運用了黃金比例 \(\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618\)。
$$F_{\text{n}} = \frac{\varphi^{\text{n}} - (1-\varphi)^{\text{n}}}{\sqrt{5}}, \qquad \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$$
由於公式中第二項 \(\psi^{\text{n}}\) 會逐漸趨近於零，因此 F(n) 與 \(\varphi^{\text{n}}/\sqrt{5}\) 極為接近，只要四捨五入到最接近的整數，就能得到精確的費氏數。本計算機以迭代方式計算結果以確保完美精度，同時也顯示比奈公式的估計值供你對照。
實際範例
以 n = 10 為例：數列為 0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，因此 F(10) = 55。前 11 項（F(0) 到 F(10)）的總和為 $$\sum_{i=0}^{10} F_i = F_{12} - 1 = 144 - 1 = 143$$ 比奈公式的估計值 \(\varphi^{10}/\sqrt{5} \approx 55.0036\)，四捨五入後正好等於 55。
常見問題
數列是從 0 還是 1 開始？本工具採用標準慣例 F(0)=0、F(1)=1，所以第 0 項回傳的數值為 0。
為什麼把 n 限制在 90？F(90) 約為 \(2.88 \times 10^{18}\)，已接近 64 位元整數運算的精確上限。超過這個範圍，浮點數的四捨五入就可能造成誤差。
它和黃金比例有什麼關聯？當 n 越來越大時，相鄰兩項費氏數的比值 \(F(n+1)/F(n)\) 會逐漸收斂於 \(\varphi \approx 1.6180339887\)。
