Qu'est-ce qu'un nombre harmonique ?
Le nième nombre harmonique, noté \(H(n)\), correspond à la somme des inverses des n premiers entiers strictement positifs : $$H(n) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}.$$ Il s'agit de la somme partielle de la célèbre série harmonique, l'une des séries divergentes les plus importantes en mathématiques. Même si chaque nouveau terme ajouté devient de plus en plus petit, le total croît sans limite à mesure que n augmente — mais très lentement, à peu près comme le logarithme népérien de n.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez un entier positif \(n\) (le nombre de termes) et le calculateur additionne \(\frac{1}{k}\) pour \(k\) allant de 1 à n. Le résultat affiché est la valeur décimale exacte de \(H(n)\). Vous pouvez la comparer à l'approximation \(H(n) \approx \ln(n) + \gamma\), où \(\gamma \approx 0{,}5772\) est la constante d'Euler-Mascheroni ; cette estimation devient très précise pour les grandes valeurs de n.
La formule expliquée
La formule de définition est $$H_{\text{n}} = \sum_{k=1}^{\text{n}} \frac{1}{k}$$ pour \(k\) allant de 1 à n. Il n'existe pas de forme close simple : la valeur se calcule donc terme par terme. Par exemple, $$H(4) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = 1 + 0{,}5 + 0{,}333\ldots + 0{,}25 = 2{,}08333\ldots$$
Exemple détaillé
Pour n = 5 : $$H(5) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = 1 + 0{,}5 + 0{,}333333 + 0{,}25 + 0{,}2 = 2{,}283333.$$ Le calculateur fournit ce résultat directement.
Questions fréquentes
La série harmonique converge-t-elle ? Non. La série harmonique infinie diverge ; \(H(n)\) continue donc de croître à mesure que n augmente, mais extrêmement lentement.
Que vaut H(1) ? \(H(1) = 1\), puisque la somme ne comporte qu'un seul terme, \(\frac{1}{1}\).
Pourquoi parle-t-on de série « harmonique » ? Le nom vient de la musique : les longueurs d'onde des harmoniques d'une corde vibrante valent 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... de la longueur d'onde fondamentale.
