¿Qué es un número armónico?
El enésimo número armónico, que se escribe \(H(n)\), es la suma de los recíprocos de los primeros n números enteros positivos: $$H(n) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}.$$ Se trata de la suma parcial de la célebre serie armónica, una de las series divergentes más importantes y más lentas de toda la matemática. Aunque cada término que se añade es cada vez más pequeño, la suma total crece sin límite a medida que n aumenta; eso sí, lo hace muy despacio, a un ritmo parecido al del logaritmo natural de n.
Cómo usar esta calculadora
Introduce un número entero positivo n (la cantidad de términos) y la calculadora sumará \(1/k\) desde \(k = 1\) hasta \(k = n\). El resultado es el valor decimal exacto de \(H(n)\). Puedes compararlo con la aproximación \(H(n) \approx \ln(n) + \gamma\), donde \(\gamma \approx 0{,}5772\) es la constante de Euler-Mascheroni; esta estimación se vuelve muy precisa cuando n es grande.
La fórmula explicada
La fórmula que la define es $$H(n) = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$$ para \(k = 1\) hasta n. No existe una fórmula cerrada sencilla, así que el valor se calcula término a término. Por ejemplo, $$H(4) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = 1 + 0{,}5 + 0{,}333\ldots + 0{,}25 = 2{,}08333\ldots$$
Ejemplo resuelto
Para n = 5: $$H(5) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = 1 + 0{,}5 + 0{,}333333 + 0{,}25 + 0{,}2 = 2{,}283333.$$ La calculadora devuelve este resultado directamente.
Preguntas frecuentes
¿La serie armónica converge? No. La serie armónica infinita diverge, por lo que \(H(n)\) sigue creciendo a medida que n aumenta, aunque de forma extremadamente lenta.
¿Cuánto vale H(1)? \(H(1) = 1\), ya que la suma tiene un único término, \(1/1\).
¿Por qué se llama «armónico»? El nombre procede de la música: las longitudes de onda de los armónicos (sobretonos) de una cuerda que vibra son 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... de la longitud de onda fundamental.
