परिणाम

हार्मोनिक नंबर H(n)

2.928968

k = 1 से n तक 1/k का योग

पदों की संख्या (n)	10
हार्मोनिक नंबर	2.928968254

हार्मोनिक नंबर क्या होता है?

nवाँ हार्मोनिक नंबर, जिसे $H(n)$ लिखा जाता है, पहले n धन पूर्णांकों के व्युत्क्रमों का योग है: $$H(n) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}$$ यह प्रसिद्ध हार्मोनिक श्रेणी का आंशिक योग है, जो गणित की सबसे महत्वपूर्ण धीरे-धीरे अपसरित (diverge) होने वाली श्रेणियों में से एक है। हालाँकि जुड़ने वाला हर पद छोटा होता जाता है, फिर भी n बढ़ने के साथ कुल योग बिना किसी सीमा के बढ़ता रहता है — बस बहुत धीरे, लगभग n के प्राकृतिक लघुगणक (natural log) की रफ्तार से।

एक हार्मोनिक संख्या में जुड़ने वाली स्तरित इकाई भिन्नें — हार्मोनिक संख्या इकाई भिन्नों 1, 1/2, 1/3, ... से 1/n तक का योग है।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

एक धन पूर्ण संख्या n (पदों की संख्या) दर्ज करें, और कैलकुलेटर k = 1 से लेकर k = n तक $\frac{1}{k}$ का योग कर देगा। परिणाम $H(n)$ का सटीक दशमलव मान होता है। आप इसकी तुलना अनुमानित सूत्र $H(n) \approx \ln(n) + \gamma$ से कर सकते हैं, जहाँ $\gamma \approx 0.5772$ ऑयलर–मास्केरॉनी स्थिरांक है; बड़े n के लिए यह अनुमान बेहद सटीक हो जाता है।

सूत्र की व्याख्या

मूल सूत्र है $$H(n) = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$$ जहाँ k = 1 से n तक। इसका कोई सरल बंद रूप (closed form) नहीं होता, इसलिए मान को पद-दर-पद जोड़कर निकाला जाता है। उदाहरण के लिए, $$H(4) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = 1 + 0.5 + 0.333\ldots + 0.25 = 2.08333\ldots$$

1/x वक्र द्वारा अनुमानित हार्मोनिक श्रेणी का क्षेत्रफल — हार्मोनिक योग वक्र y = 1/x के नीचे इकाई-चौड़ाई वाले आयतों के कुल क्षेत्रफल के बराबर होता है।

हल किया हुआ उदाहरण

n = 5 के लिए: $$H(5) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = 1 + 0.5 + 0.333333 + 0.25 + 0.2 = 2.283333$$ कैलकुलेटर सीधे यही मान देता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या हार्मोनिक श्रेणी अभिसरित (converge) होती है? नहीं। अनंत हार्मोनिक श्रेणी अपसरित होती है, इसलिए n बढ़ने के साथ $H(n)$ लगातार बढ़ता रहता है, भले ही बहुत ही धीरे।

H(1) कितना होता है? $H(1) = 1$, क्योंकि इस योग में केवल एक ही पद होता है, $\frac{1}{1}$।

इसे "हार्मोनिक" क्यों कहते हैं? यह नाम संगीत से आया है: किसी कंपित तार के अधिस्वरकों (overtones) की तरंगदैर्ध्य मूल तरंगदैर्ध्य की 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... गुना होती हैं।

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