हार्मोनिक नंबर क्या होता है?
nवाँ हार्मोनिक नंबर, जिसे \(H(n)\) लिखा जाता है, पहले n धन पूर्णांकों के व्युत्क्रमों का योग है: $$H(n) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}$$ यह प्रसिद्ध हार्मोनिक श्रेणी का आंशिक योग है, जो गणित की सबसे महत्वपूर्ण धीरे-धीरे अपसरित (diverge) होने वाली श्रेणियों में से एक है। हालाँकि जुड़ने वाला हर पद छोटा होता जाता है, फिर भी n बढ़ने के साथ कुल योग बिना किसी सीमा के बढ़ता रहता है — बस बहुत धीरे, लगभग n के प्राकृतिक लघुगणक (natural log) की रफ्तार से।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
एक धन पूर्ण संख्या n (पदों की संख्या) दर्ज करें, और कैलकुलेटर k = 1 से लेकर k = n तक \(\frac{1}{k}\) का योग कर देगा। परिणाम \(H(n)\) का सटीक दशमलव मान होता है। आप इसकी तुलना अनुमानित सूत्र \(H(n) \approx \ln(n) + \gamma\) से कर सकते हैं, जहाँ \(\gamma \approx 0.5772\) ऑयलर–मास्केरॉनी स्थिरांक है; बड़े n के लिए यह अनुमान बेहद सटीक हो जाता है।
सूत्र की व्याख्या
मूल सूत्र है $$H(n) = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$$ जहाँ k = 1 से n तक। इसका कोई सरल बंद रूप (closed form) नहीं होता, इसलिए मान को पद-दर-पद जोड़कर निकाला जाता है। उदाहरण के लिए, $$H(4) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = 1 + 0.5 + 0.333\ldots + 0.25 = 2.08333\ldots$$
हल किया हुआ उदाहरण
n = 5 के लिए: $$H(5) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = 1 + 0.5 + 0.333333 + 0.25 + 0.2 = 2.283333$$ कैलकुलेटर सीधे यही मान देता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या हार्मोनिक श्रेणी अभिसरित (converge) होती है? नहीं। अनंत हार्मोनिक श्रेणी अपसरित होती है, इसलिए n बढ़ने के साथ \(H(n)\) लगातार बढ़ता रहता है, भले ही बहुत ही धीरे।
H(1) कितना होता है? \(H(1) = 1\), क्योंकि इस योग में केवल एक ही पद होता है, \(\frac{1}{1}\)।
इसे "हार्मोनिक" क्यों कहते हैं? यह नाम संगीत से आया है: किसी कंपित तार के अधिस्वरकों (overtones) की तरंगदैर्ध्य मूल तरंगदैर्ध्य की 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... गुना होती हैं।
