ما هو العدد التوافقي؟
العدد التوافقي النوني، ويُرمَز له بـ \(H(n)\)، هو مجموع مقلوبات أوّل \(n\) من الأعداد الصحيحة الموجبة: $$H(n) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}$$ وهو المجموع الجزئي للمتسلسلة التوافقية الشهيرة، إحدى أهم المتسلسلات المتباعدة ببطء في الرياضيات. ورغم أن كل حدٍّ يُضاف يصبح أصغر من سابقه، فإن المجموع الكلي يكبر بلا حدود كلما زادت قيمة \(n\) — لكن ببطءٍ شديد، بمعدلٍ يقارب اللوغاريتم الطبيعي لـ \(n\).
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل عددًا صحيحًا موجبًا \(n\) (وهو عدد الحدود)، فتقوم الحاسبة بجمع \(\frac{1}{k}\) من \(k = 1\) حتى \(k = n\). والناتج هو القيمة العشرية الدقيقة لـ \(H(n)\). ويمكنك مقارنته بالتقريب \(H(n) \approx \ln(n) + \gamma\)، حيث \(\gamma \approx 0.5772\) هو ثابت أويلر–ماسكيروني؛ ويصبح هذا التقدير دقيقًا جدًا عند القيم الكبيرة لـ \(n\).
شرح المعادلة
المعادلة المُعرِّفة هي $$H(n) = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$$ لقيم \(k\) من \(1\) إلى \(n\). لا توجد صيغة مغلقة بسيطة لها، لذا تُحسَب القيمة حدًّا بعد حدّ. فعلى سبيل المثال: $$H(4) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = 1 + 0.5 + 0.333\ldots + 0.25 = 2.08333\ldots$$
مثال محلول
عند \(n = 5\): $$H(5) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = 1 + 0.5 + 0.333333 + 0.25 + 0.2 = 2.283333$$ وتعطيك الحاسبة هذه النتيجة مباشرةً.
الأسئلة الشائعة
هل تتقارب المتسلسلة التوافقية؟ لا. المتسلسلة التوافقية اللانهائية متباعدة، لذا يستمر \(H(n)\) في النمو كلما كبرت \(n\)، وإن كان ذلك ببطءٍ بالغ.
ما قيمة \(H(1)\)؟ \(H(1) = 1\)، لأن المجموع يتكوّن من حدٍّ واحد فقط هو \(\frac{1}{1}\).
لماذا سُمّي "توافقيًا"؟ يعود الاسم إلى الموسيقى: فأطوال موجات التوافقيات (النغمات العلوية) لوترٍ مهتزّ تكون \(1\) و\(\frac{1}{2}\) و\(\frac{1}{3}\) و\(\frac{1}{4}\) ... من طول الموجة الأساسية.
