حاسبة الملخص الخماسي – القيمة الدنيا، Q1، الوسيط، Q3، القيمة العليا

عدد البيانات	10
البيانات المُدخلة	12, 15, 18, 20, 22, 25, 28, 30, 35, 40
البيانات المرتبة	12.0, 15.0, 18.0, 20.0, 22.0, 25.0, 28.0, 30.0, 35.0, 40.0

ما هو الملخص الخماسي؟

الملخص الخماسي هو لقطة إحصائية سريعة تصف مدى انتشار البيانات ومركزها باستخدام خمس قيم فقط: القيمة الدنيا، والربيع الأول (Q1)، والوسيط، والربيع الثالث (Q3)، والقيمة العليا. تقسم هذه القيم مجموعة بياناتك إلى أربعة أجزاء متساوية، وتكشف لك أين تتجمع القيم، وما مدى تباعدها، وما إذا كان التوزيع يميل إلى أحد الجانبين. تعمل هذه الحاسبة مع أي قائمة من الأرقام، وهي أداة شائعة الاستخدام في حصص الإحصاء وتحليل البيانات والتقارير الإدارية حول العالم.

$$\text{5-Number Summary} = \left\{\ \min,\ Q_1,\ \tilde{x},\ Q_3,\ \max\ \right\} \text{ of } \text{Data Set}$$

خط أعداد يحدد القيم الخمس: الأدنى وQ1 والوسيط وQ3 والأعلى — يقسّم الملخص الخماسي البيانات المرتبة إلى: الأدنى وQ1 والوسيط وQ3 والأعلى.

كيفية استخدام الحاسبة

كل ما عليك هو إدخال قيمك مفصولة بفواصل — مثل 4, 8, 15, 16, 23, 42 — لتعرض الأداة فوراً جميع القيم الخمس للملخص. ولا يهم الترتيب الذي تكتب به الأرقام؛ فالحاسبة ترتبها تلقائياً قبل بدء الحساب.

القيمة الدنيا: أصغر قيمة في بياناتك.
Q1 (الربيع الأول): وسيط النصف السفلي — أي أن 25% من القيم تقع تحته.
الوسيط (Q2): القيمة الوسطى — أي أن 50% من القيم تقع تحته.
Q3 (الربيع الثالث): وسيط النصف العلوي — أي أن 75% من القيم تقع تحته.
القيمة العليا: أكبر قيمة في بياناتك.

كيف تُحسب القيم الخمس؟

أولاً، تُرتَّب البيانات من الأصغر إلى الأكبر. القيمة الدنيا والقيمة العليا هما ببساطة طرفا هذه القائمة. أما الوسيط فهو القيمة الوسطى (أو متوسط القيمتين الوسطيتين إذا كان عدد القيم زوجياً). ويمثل Q1 وسيط النصف السفلي من البيانات، بينما يمثل Q3 وسيط النصف العلوي. والمسافة بين Q1 وQ3، التي تُعرف بالمدى الربيعي ($\text{IQR} = Q_3 - Q_1$)، تقيس انتشار النصف الأوسط من البيانات (50%) وتساعد على رصد القيم الشاذة.

$$\begin{aligned} \text{Sorted: } & x_{(1)} \le x_{(2)} \le \dots \le x_{(n)} \text{ from } \text{Data Set} \\ \min &= x_{(1)} \\ Q_1 &= P_{25} \\ \tilde{x} &= P_{50} \\ Q_3 &= P_{75} \\ \max &= x_{(n)} \\ \text{IQR} &= Q_3 - Q_1 \end{aligned}$$

اعلان

مخطط صندوقي يعرض الأدنى وQ1 والوسيط وQ3 والأعلى — يوضّح مخطط الصندوق الملخص الخماسي، حيث يمتد الصندوق من Q1 إلى Q3.

مثال تطبيقي

لنأخذ مجموعة البيانات التالية: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 (سبع قيم).

القيمة الدنيا = 2، القيمة العليا = 14
الوسيط = 8 (القيمة الرابعة)
النصف السفلي = 2، 4، 6 ← Q1 = 4
النصف العلوي = 10، 12، 14 ← Q3 = 12

وبذلك يكون الملخص الخماسي هو 2، 4، 8، 12، 14، ويكون المدى الربيعي $\text{IQR} = 12 - 4 = 8$.

تفسير ملخص الأرقام الخمسة

ملخص الأرقام الخمسة—الحد الأدنى، والربيع الأول ($Q_1$)، والوسيط ($\tilde{x}$)، والربيع الثالث ($Q_3$)، والحد الأقصى—يقسم بياناتك المرتبة إلى أربع أرباع متساوية العدد. قراءة هذه النقاط الخمس معاً توضح مكان مركز البيانات، ومدى انتشارها، وما إذا كانت تميل إلى جانب واحد.

المدى الرباعي: انتشار الوسط 50%

المدى الرباعي هو المسافة بين الربيعات:

$$\text{المدى الرباعي} = Q_3 - Q_1$$

يمثل انتشار الـ 50% الوسطى من قيمك ويتجاهل الذيول القصوى، لذلك فهو أكثر قوة بكثير من المدى الكامل $(\max-\min)$. يعني المدى الرباعي الصغير نسبياً إلى المدى أن معظم القيم متجمعة بإحكام بينما عدد قليل من القيم الشاذة تمتد إلى النهايات.

مقارنة الفجوات للكشف عن الانحراف

قارن الفجوة السفلية $(Q_1-\min)$ مع الفجوة العلوية $(\max-Q_3)$، والنصفات الداخلية $(\tilde{x}-Q_1)$ مقابل $(Q_3-\tilde{x})$:

متماثل تقريباً: الفجوتان متشابهتان والوسيط يقع بالقرب من منتصف المدى الرباعي.
منحرف لليمين (موجب): الفجوة العلوية $(\max-Q_3)$ أكبر بكثير؛ الوسيط يقع أقرب إلى $Q_1$.
منحرف لليسار (سالب): الفجوة السفلية $(Q_1-\min)$ أكبر بكثير؛ الوسيط يقع أقرب إلى $Q_3$.

قاعدة 1.5×المدى الرباعي للقيم الشاذة

تستخدم قاعدة شائعة لتحديد القيم التي تقع خارج الحدود:

$$\text{الحد الأدنى}=Q_1-1.5\times\text{المدى الرباعي},\qquad \text{الحد الأقصى}=Q_3+1.5\times\text{المدى الرباعي}$$

أي نقطة بيانات تقع أسفل الحد الأدنى أو أعلى الحد الأقصى تعتبر قيمة شاذة محتملة تستحق الفحص. يمكنك تشغيل بياناتك من خلال فحص القيم الشاذة للمدى الرباعي لتطبيق هذه القاعدة تلقائياً.

كيفية ربط الرسم البياني الصندوقي بالملخص

الرسم البياني الصندوقي هو تصوير مباشر لهذه الأرقام الخمسة: يمتد الصندوق من $Q_1$ إلى $Q_3$ (طوله هو المدى الرباعي)، والخط داخل الصندوق يشير إلى الوسيط، والشعيرات تمتد إلى أصغر وأكبر القيم ضمن الحدود. يتم رسم النقاط خارج الشعيرات بشكل فردي كقيم شاذة. لذلك يعرض الصندوق الوسط 50%، وخط وسيط غير مركزي داخل الصندوق يشير بصرياً إلى الانحراف.

اعلان

المصطلحات الرئيسية والتعاريف

الحد الأدنى: أصغر قيمة في مجموعة البيانات—الطرف الأدنى من المدى.
الربيع الأول ($Q_1$): المئين الـ 25: 25% من البيانات تقع عند هذه القيمة أو أقل منها. تشير إلى الحافة السفلية للصندوق في الرسم البياني الصندوقي.
الوسيط ($Q_2$, $\tilde{x}$): المئين الـ 50—القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيتين عندما يكون العدد زوجياً). يقع نصف البيانات تحتها والنصف الآخر فوقها.
الربيع الثالث ($Q_3$): المئين الـ 75: 75% من البيانات تقع عند هذه القيمة أو أقل منها. تشير إلى الحافة العلوية للصندوق.
الحد الأقصى: أكبر قيمة في مجموعة البيانات—الطرف الأعلى من المدى.
المئين: قيمة يقع أسفلها نسبة مئوية معينة من الملاحظات؛ على سبيل المثال، المئين الـ 25 هو النقطة التي تقع 25% من البيانات عندها أو أسفلها.
المدى الرباعي (IQR): الفرق $Q_3-Q_1$، يقيس انتشار الـ 50% الوسطى من البيانات. راجع حاسبة المدى الرباعي لحساب مركز.
الرسم البياني الصندوقي (الصندوق والشعيرات): مخطط يعرض ملخص الأرقام الخمسة: صندوق من $Q_1$ إلى $Q_3$ بخط وسيط، شعيرات تصل إلى القيم القصوى غير الشاذة، وأي قيم شاذة مرسومة كنقاط منفصلة.

الأسئلة الشائعة

لماذا تختلف نتائج الربيعات أحياناً بين الأدوات المختلفة؟ توجد عدة طرق معتمدة لحساب الربيعات (مثل الوسيط الشامل والوسيط الحصري). وقد تنتج مجموعات البيانات الصغيرة قيماً مختلفة قليلاً لـ Q1 وQ3 بحسب الطريقة المستخدمة.

فيمَ يُستخدم الملخص الخماسي؟ هو الأساس الذي تُبنى عليه مخططات الصندوق والشوارب (Box Plot)، وطريقة سريعة لمقارنة التوزيعات، واكتشاف الميل (Skew)، وتحديد القيم الشاذة المحتملة.

كم عدد الأرقام التي أحتاجها؟ تحتاج إلى قيمتين على الأقل، لكن الملخص يصبح أكثر دلالةً مع خمس نقاط بيانات أو أكثر.