五数要約の計算ツール｜最小値・Q1・中央値・Q3・最大値

データ数	10
入力データ	12, 15, 18, 20, 22, 25, 28, 30, 35, 40
並べ替え後のデータ	12.0, 15.0, 18.0, 20.0, 22.0, 25.0, 28.0, 30.0, 35.0, 40.0

五数要約とは？

五数要約（5-number summary）とは、データの「ばらつき」と「中心」を、わずか5つの値だけで手早く把握するための統計的な要約です。使うのは、最小値・第1四分位数（Q1）・中央値・第3四分位数（Q3）・最大値の5つ。これらはデータを4等分し、値がどこに集中しているか、どの範囲に広がっているか、分布が一方に偏っていないかを浮かび上がらせます。本ツールはどんな数値リストにも対応し、統計の授業からデータ分析、ビジネスのレポート作成まで幅広く活用できます。

最小値・Q1・中央値・Q3・最大値の5つの値を示した数直線 — 五数要約は、整列したデータを最小値・Q1・中央値・Q3・最大値に分けます。

計算ツールの使い方

数値をカンマで区切って入力するだけ。たとえば 4, 8, 15, 16, 23, 42 のように入力すれば、5つの要約値がその場で表示されます。入力する順番は問いません。計算前に自動で並べ替えてから処理します。

最小値：データの中でいちばん小さい値です。
Q1（第1四分位数）：下半分の中央値。全体の25%がこの値より下に位置します。
中央値（Q2）：真ん中の値。全体の50%がこの値より下に位置します。
Q3（第3四分位数）：上半分の中央値。全体の75%がこの値より下に位置します。
最大値：データの中でいちばん大きい値です。

5つの値の求め方

まずデータを小さい順に並べ替えます。最小値と最大値は、その並びの両端にある値です。中央値は真ん中の値（データの個数が偶数のときは、中央2つの値の平均）になります。Q1はデータの下半分の中央値、Q3は上半分の中央値です。Q1とQ3の差は四分位範囲（$\text{IQR} = Q_3 - Q_1$）と呼ばれ、中央50%のばらつきを表すとともに、外れ値を見つける手がかりにもなります。

整列したデータと各値の定義は次のとおりです：

$$\begin{aligned} \text{Sorted: } & x_{(1)} \le x_{(2)} \le \dots \le x_{(n)} \text{ from } \text{Data Set} \\ \min &= x_{(1)} \\ Q_1 &= P_{25} \\ \tilde{x} &= P_{50} \\ Q_3 &= P_{75} \\ \max &= x_{(n)} \\ \text{IQR} &= Q_3 - Q_1 \end{aligned}$$

五数要約はまとめると次のように表されます：

$$\text{5-Number Summary} = \left\{\ \min,\ Q_1,\ \tilde{x},\ Q_3,\ \max\ \right\} \text{ of } \text{Data Set}$$

最小値・Q1・中央値・Q3・最大値を示す箱ひげ図 — 箱ひげ図は五数要約を視覚化し、箱はQ1からQ3までを表します。

計算例

次のデータを例に考えてみましょう：2, 4, 6, 8, 10, 12, 14（7つの値）。

最小値 = 2、最大値 = 14
中央値 = 8（4番目の値）
下半分 = 2, 4, 6 → Q1 = 4
上半分 = 10, 12, 14 → Q3 = 12

したがって五数要約は 2, 4, 8, 12, 14 となり、IQRは $12 - 4 = 8$ です。

5数要約の解釈

5数要約—最小値、第1四分位数（$Q_1$）、中央値（$\tilde{x}$）、第3四分位数（$Q_3$）、最大値—ソートされたデータを4つの等数のクォーターに分割します。これら5つのアンカーを一緒に読むことで、データの中心がどこにあるか、どの程度拡散しているか、一方の側に傾いているかがわかります。

IQR：中央の50%の拡散

四分位範囲は四分位数間の距離です：

$$\text{IQR} = Q_3 - Q_1$$

これはあなたの値の中央50%の拡散をキャプチャし、極端な裾を無視するため、完全な範囲$(\max-\min)$よりもはるかにロバストです。範囲に対する小さなIQRは、ほとんどの値が密集していながら、いくつかの外れ値が端を拡張していることを意味します。

ギャップを比較して歪度を検出する

下側のギャップ$(Q_1-\min)$と上側のギャップ$(\max-Q_3)$、および内側の半分$(\tilde{x}-Q_1)$対$(Q_3-\tilde{x})$を比較します：

ほぼ対称：2つのギャップは似ており、中央値はIQRの中央近くに位置します。
右歪み（正の歪み）：上側のギャップ$(\max-Q_3)$がはるかに大きく、中央値は$Q_1$に近い位置にあります。
左歪み（負の歪み）：下側のギャップ$(Q_1-\min)$がはるかに大きく、中央値は$Q_3$に近い位置にあります。

外れ値のための1.5×IQRルール

一般的なルールは、フェンスの外にある値にフラグを付けます：

$$\text{下側フェンス}=Q_1-1.5\times\text{IQR},\qquad \text{上側フェンス}=Q_3+1.5\times\text{IQR}$$

下側フェンスより下または上側フェンスより上にある任意のデータポイントは、検査する価値のある外れ値の候補です。IQR外れ値チェックを通じてデータを実行して、このルールを自動的に適用できます。

箱ひげ図が要約にどのようにマッピングされるか

箱ひげ図はこれら5つの数値の直接的な画像です：箱は$Q_1$から$Q_3$までの範囲（その長さはIQR）、箱内の線は中央値、ひげはフェンス内の最小値と最大値まで拡張されます。ひげを超えるポイントは外れ値として個別に描画されます。したがって、箱は中央の50%を示し、箱の内側で中心から外れた中央値の線は歪度の視覚的な手がかりです。

主要用語と定義

最小値: データセット内の最小値—範囲の下端。
第1四分位数（$Q_1$）: 25パーセンタイル：データの25%がこの値以下です。箱ひげ図の箱の下端を示します。
中央値（$Q_2$、$\tilde{x}$）: 50パーセンタイル—ソートされたデータの中間値（数が偶数の場合は2つの中間値の平均）。データの半分はそれより下にあり、半分は上にあります。
第3四分位数（$Q_3$）: 75パーセンタイル：データの75%がこの値以下です。箱の上端を示します。
最大値: データセット内の最大値—範囲の上端。
パーセンタイル: 観測値の指定された割合が下回る値。例えば、25パーセンタイルはそれ以下にデータの25%がある点です。
四分位範囲（IQR）: 差$Q_3-Q_1$。データの中央50%の拡散を測定します。焦点を絞った計算については、IQR計算機を参照してください。
箱ひげ図: 5数要約を表示するチャート：$Q_1$から$Q_3$までの箱と中央値の線、非外れ値の極端な値まで達するひげ、および個別の点としてプロットされた外れ値。