Tính Tóm Tắt 5 Số – Min, Q1, Trung Vị, Q3, Max

Số lượng dữ liệu	10
Dữ liệu nhập vào	12, 15, 18, 20, 22, 25, 28, 30, 35, 40
Dữ liệu đã sắp xếp	12.0, 15.0, 18.0, 20.0, 22.0, 25.0, 28.0, 30.0, 35.0, 40.0

Tóm tắt 5 số là gì?

Tóm tắt năm số là một bức ảnh chụp nhanh về mặt thống kê, mô tả độ phân tán và vị trí trung tâm của một tập dữ liệu chỉ bằng năm giá trị: giá trị nhỏ nhất (minimum), tứ phân vị thứ nhất (Q1), trung vị (median), tứ phân vị thứ ba (Q3) và giá trị lớn nhất (maximum). Năm con số này cùng nhau chia dữ liệu thành bốn phần bằng nhau, cho thấy các giá trị tập trung ở đâu, trải rộng đến mức nào và phân phối có lệch về một phía hay không. Công cụ này hoạt động với bất kỳ danh sách số nào và được sử dụng rộng rãi trong các lớp học thống kê, phân tích dữ liệu và báo cáo kinh doanh trên khắp thế giới.

$$\text{Tóm tắt 5 số} = \left\{\ \min,\ Q_1,\ \tilde{x},\ Q_3,\ \max\ \right\} \text{ của } \text{Tập dữ liệu}$$

Trục số đánh dấu năm giá trị: nhỏ nhất, Q1, trung vị, Q3 và lớn nhất — Tóm tắt năm số chia dữ liệu đã sắp xếp thành: nhỏ nhất, Q1, trung vị, Q3 và lớn nhất.

Cách sử dụng công cụ

Bạn chỉ cần nhập các giá trị cách nhau bằng dấu phẩy — ví dụ 4, 8, 15, 16, 23, 42 — và công cụ sẽ trả về ngay cả năm con số tóm tắt. Thứ tự bạn nhập không quan trọng; công cụ sẽ tự động sắp xếp trước khi tính.

Giá trị nhỏ nhất (Minimum): giá trị bé nhất trong dữ liệu.
Q1 (tứ phân vị thứ nhất): trung vị của nửa dưới — 25% giá trị nằm dưới mức này.
Trung vị (Q2): giá trị ở giữa — 50% giá trị nằm dưới mức này.
Q3 (tứ phân vị thứ ba): trung vị của nửa trên — 75% giá trị nằm dưới mức này.
Giá trị lớn nhất (Maximum): giá trị lớn nhất trong dữ liệu.

Năm con số được tính như thế nào

Trước tiên, dữ liệu được sắp xếp từ nhỏ đến lớn. Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất đơn giản là hai đầu của danh sách. Trung vị là giá trị nằm giữa (hoặc trung bình của hai giá trị giữa khi số phần tử là chẵn). Q1 là trung vị của nửa dưới dữ liệu, còn Q3 là trung vị của nửa trên. Khoảng cách giữa Q1 và Q3, gọi là khoảng tứ phân vị ($\text{IQR} = Q_3 - Q_1$), đo độ phân tán của 50% giá trị ở giữa và giúp phát hiện các điểm ngoại lai.

$$\begin{aligned} \text{Đã sắp xếp: } & x_{(1)} \le x_{(2)} \le \dots \le x_{(n)} \text{ từ } \text{Tập dữ liệu} \\ \min &= x_{(1)} \\ Q_1 &= P_{25} \\ \tilde{x} &= P_{50} \\ Q_3 &= P_{75} \\ \max &= x_{(n)} \\ \text{IQR} &= Q_3 - Q_1 \end{aligned}$$

Quảng cáo

Biểu đồ hộp và râu hiển thị nhỏ nhất, Q1, trung vị, Q3 và lớn nhất — Biểu đồ hộp thể hiện tóm tắt năm số, với hộp trải dài từ Q1 đến Q3.

Ví dụ minh họa

Lấy tập dữ liệu: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 (bảy giá trị).

Nhỏ nhất = 2, Lớn nhất = 14
Trung vị = 8 (giá trị thứ tư)
Nửa dưới = 2, 4, 6 → Q1 = 4
Nửa trên = 10, 12, 14 → Q3 = 12

Vậy tóm tắt năm số là 2, 4, 8, 12, 14, và $\text{IQR} = 12 - 4 = 8$.

Diễn giải Tóm tắt Năm con số của bạn

Tóm tắt năm con số—giá trị nhỏ nhất, tứ phân vị thứ nhất ($Q_1$), trung vị ($\tilde{x}$), tứ phân vị thứ ba ($Q_3$), và giá trị lớn nhất—chia dữ liệu được sắp xếp của bạn thành bốn phần tư có số lượng bằng nhau. Đọc năm điểm mốc này cùng nhau cho bạn biết tâm dữ liệu nằm ở đâu, nó lan rộng như thế nào, và liệu nó có nghiêng về một phía hay không.

Khoảng tứ phân vị: độ lan rộng của 50% giữa

Khoảng tứ phân vị là khoảng cách giữa các tứ phân vị:

$$\text{Khoảng tứ phân vị} = Q_3 - Q_1$$

Nó nắm bắt được độ lan rộng của 50% trung tâm của các giá trị của bạn và bỏ qua các đuôi cực trị, vì vậy nó mạnh mẽ hơn nhiều so với phạm vi toàn bộ $(\max-\min)$. Một khoảng tứ phân vị nhỏ so với phạm vi có nghĩa là hầu hết các giá trị tập trung chặt chẽ trong khi một vài ngoại lệ kéo dài các đầu.

So sánh khoảng cách để phát hiện độ lệch

So sánh khoảng cách dưới $(Q_1-\min)$ với khoảng cách trên $(\max-Q_3)$, và các nửa bên trong $(\tilde{x}-Q_1)$ so với $(Q_3-\tilde{x})$:

Xấp xỉ đối xứng: hai khoảng cách tương tự nhau và trung vị nằm gần giữa khoảng tứ phân vị.
Lệch phải (dương): khoảng cách trên $(\max-Q_3)$ lớn hơn nhiều; trung vị nằm gần hơn $Q_1$.
Lệch trái (âm): khoảng cách dưới $(Q_1-\min)$ lớn hơn nhiều; trung vị nằm gần hơn $Q_3$.

Quy tắc 1,5×khoảng tứ phân vị cho các ngoại lệ

Một quy tắc phổ biến đánh dấu các giá trị nằm ngoài ranh giới:

$$\text{Ranh giới dưới}=Q_1-1.5\times\text{Khoảng tứ phân vị},\qquad \text{Ranh giới trên}=Q_3+1.5\times\text{Khoảng tứ phân vị}$$

Bất kỳ điểm dữ liệu nào dưới ranh giới dưới hoặc trên ranh giới trên là một ứng cử viên ngoại lệ đáng kiểm tra. Bạn có thể chạy dữ liệu của mình thông qua một kiểm tra ngoại lệ khoảng tứ phân vị để áp dụng quy tắc này tự động.

Cách biểu đồ hộp ánh xạ tới tóm tắt

Một biểu đồ hộp là một hình ảnh trực tiếp của năm con số này: hộp kéo dài từ $Q_1$ đến $Q_3$ (độ dài của nó là khoảng tứ phân vị), đường bên trong hộp đánh dấu trung vị, và các râu kéo dài đến các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất trong ranh giới. Các điểm vượt quá các râu được vẽ riêng lẻ dưới dạng ngoại lệ. Vì vậy, hộp hiển thị 50% giữa, và một đường trung vị không tập trung trong hộp là tín hiệu hình ảnh của bạn cho độ lệch.

Quảng cáo

Các thuật ngữ chính & Định nghĩa

Giá trị nhỏ nhất: Giá trị nhỏ nhất trong tập dữ liệu—đầu dưới của phạm vi.
Tứ phân vị thứ nhất ($Q_1$): Phần trăm vị 25: 25% dữ liệu rơi vào hoặc dưới giá trị này. Nó đánh dấu cạnh dưới của hộp trong biểu đồ hộp.
Trung vị ($Q_2$, $\tilde{x}$): Phần trăm vị 50—giá trị giữa của dữ liệu được sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi số lượng là chẵn). Một nửa dữ liệu nằm dưới nó và một nửa ở trên.
Tứ phân vị thứ ba ($Q_3$): Phần trăm vị 75: 75% dữ liệu rơi vào hoặc dưới giá trị này. Nó đánh dấu cạnh trên của hộp.
Giá trị lớn nhất: Giá trị lớn nhất trong tập dữ liệu—đầu trên của phạm vi.
Phần trăm vị: Một giá trị mà dưới đó một tỷ lệ phần trăm nhất định của các quan sát rơi vào; ví dụ, phần trăm vị thứ 25 là điểm có 25% dữ liệu ở hoặc dưới nó.
Khoảng tứ phân vị (IQR): Sự khác biệt $Q_3-Q_1$, đo độ lan rộng của 50% trung tâm của dữ liệu. Xem máy tính khoảng tứ phân vị để tính toán tập trung.
Biểu đồ hộp (hộp và râu): Một biểu đồ hiển thị tóm tắt năm con số: một hộp từ $Q_1$ đến $Q_3$ với một đường trung vị, các râu đạt đến các giá trị ngoại lệ không phải là cực trị, và bất kỳ ngoại lệ nào được vẽ dưới dạng các điểm riêng biệt.

Câu hỏi thường gặp

Vì sao kết quả tứ phân vị đôi khi khác nhau giữa các công cụ? Có nhiều phương pháp tính tứ phân vị được chấp nhận (như trung vị bao gồm và trung vị loại trừ). Với các tập dữ liệu nhỏ, giá trị Q1 và Q3 có thể chênh lệch đôi chút tùy theo phương pháp được dùng.

Tóm tắt năm số dùng để làm gì? Đây là nền tảng của biểu đồ hộp (box-and-whisker plot), một cách nhanh chóng để so sánh các phân phối, nhận biết độ lệch và xác định các điểm ngoại lai tiềm ẩn.

Tôi cần bao nhiêu số? Bạn cần ít nhất hai giá trị, nhưng tóm tắt sẽ có ý nghĩa hơn khi có từ năm điểm dữ liệu trở lên.