五数概括计算器

数据个数	10
输入数据	12, 15, 18, 20, 22, 25, 28, 30, 35, 40
已排序数据	12.0, 15.0, 18.0, 20.0, 22.0, 25.0, 28.0, 30.0, 35.0, 40.0

什么是五数概括？

五数概括（Five-Number Summary）是一种快速的统计"快照"，仅用五个数值就能描述一组数据的集中趋势与离散程度，它们分别是：最小值、第一四分位数（Q1）、中位数、第三四分位数（Q3）和最大值。这五个数把数据均分为四等份，可以直观地看出数值集中在哪里、整体跨度有多大，以及分布是否偏向某一侧。本计算器适用于任意一组数字，在统计学课程、数据分析和商业报表等场景中被广泛使用。

标出五个值的数轴：最小值、Q1、中位数、Q3 和最大值 — 五数概括将有序数据分为最小值、Q1、中位数、Q3 和最大值。

如何使用本计算器

只需用逗号把各个数值隔开输入即可，例如 4, 8, 15, 16, 23, 42，工具会立刻返回全部五个概括数值。输入顺序无关紧要——计算前系统会自动为它们排序。

最小值：数据中最小的数值。
Q1（第一四分位数）：较小一半数据的中位数，有 25% 的数值低于它。
中位数（Q2）：位于正中间的数值，有 50% 的数值低于它。
Q3（第三四分位数）：较大一半数据的中位数，有 75% 的数值低于它。
最大值：数据中最大的数值。

五个数值是怎样计算出来的

首先，把数据从小到大排序。最小值和最大值就是这串数据的两端。中位数是位于正中间的数值（当数据个数为偶数时，取中间两个数的平均值）。Q1 是较小一半数据的中位数，Q3 是较大一半数据的中位数。Q1 与 Q3 之间的距离称为四分位距（$\text{IQR} = Q_3 - Q_1$），它衡量的是中间 50% 数据的离散程度，并有助于识别异常值。

$$\begin{aligned} \text{Sorted: } & x_{(1)} \le x_{(2)} \le \dots \le x_{(n)} \text{ from } \text{Data Set} \\ \min &= x_{(1)} \\ Q_1 &= P_{25} \\ \tilde{x} &= P_{50} \\ Q_3 &= P_{75} \\ \max &= x_{(n)} \\ \text{IQR} &= Q_3 - Q_1 \end{aligned}$$

显示最小值、Q1、中位数、Q3 和最大值的箱线图 — 箱线图展示五数概括，箱体从 Q1 延伸到 Q3。

实例演示

以这组数据为例：2, 4, 6, 8, 10, 12, 14（共七个数）。

最小值 = 2，最大值 = 14
中位数 = 8（第四个数）
较小一半 = 2, 4, 6 → Q1 = 4
较大一半 = 10, 12, 14 → Q3 = 12

因此，五数概括为 2、4、8、12、14，四分位距 $$\text{IQR} = 12 - 4 = 8$$

解读五数字摘要

五数字摘要——最小值、第一四分位数（$Q_1$）、中位数（$\tilde{x}$）、第三四分位数（$Q_3$）和最大值——将排序后的数据分成四个等数量的四分位。一起阅读这五个锚点可以告诉你数据中心在哪里、分布有多广，以及是否偏向一侧。

四分位间距：中间50%的分布

四分位间距是四分位数之间的距离：

$$\text{四分位间距} = Q_3 - Q_1$$

它捕捉了中心50%值的分布，并忽略了极端尾部，因此比完整范围$(\max-\min)$健壮得多。相对于范围的小四分位间距意味着大多数值聚集紧密，而少数几个异常值拉伸了两端。

比较间隙以检测偏度

比较下间隙$(Q_1-\min)$和上间隙$(\max-Q_3)$，以及内部两半$(\tilde{x}-Q_1)$对比$(Q_3-\tilde{x})$：

大致对称：两个间隙相似，中位数位于四分位间距的中间附近。
右偏（正偏）：上间隙$(\max-Q_3)$要大得多；中位数更靠近$Q_1$。
左偏（负偏）：下间隙$(Q_1-\min)$要大得多；中位数更靠近$Q_3$。

异常值的1.5×四分位间距规则

一个常见规则标记落在栅栏外的值：

$$\text{下栅栏}=Q_1-1.5\times\text{四分位间距},\qquad \text{上栅栏}=Q_3+1.5\times\text{四分位间距}$$

任何低于下栅栏或高于上栅栏的数据点都是值得检查的候选异常值。你可以通过四分位间距异常值检查工具运行你的数据来自动应用此规则。

箱线图如何映射到摘要

箱线图是这五个数字的直接图示：箱体从$Q_1$延伸到$Q_3$（其长度为四分位间距），箱体内的线标记中位数，须线延伸至栅栏内最小和最大值。超出须线的点单独绘制为异常值。因此箱体显示中间50%，箱体内偏离中心的中位线是你对偏度的视觉提示。

关键术语和定义

最小值: 数据集中的最小值——范围的下端。
第一四分位数（$Q_1$）: 第25百分位：25%的数据位于此值或以下。它标记箱线图中箱体的下边缘。
中位数（$Q_2$, $\tilde{x}$）: 第50百分位——排序数据的中间值（当计数为偶数时为两个中间值的平均值）。一半的数据在它以下，一半在它以上。
第三四分位数（$Q_3$）: 第75百分位：75%的数据位于此值或以下。它标记箱体的上边缘。
最大值: 数据集中的最大值——范围的上端。
百分位: 一个值，某个百分比的观测值低于该值；例如，第25百分位是有25%的数据位于其或以下的点。
四分位间距（IQR）: 差值$Q_3-Q_1$，测量数据中心50%的分布。请参阅四分位间距计算器进行重点计算。
箱线图（箱须图）: 一种显示五数字摘要的图表：从$Q_1$到$Q_3$的箱体，带有中位线，须线延伸至极端非异常值，任何异常值绘制为单独的点。