피보나치 수열 표 계산기

계산 입력

인덱스 n의 초깃값 n = 1, 2, 3, ...

증가값

반복 횟수

결과

Last Fibonacci value in table (n = 13)

233

마지막 인덱스에서의 F_n

n	F_n

Sequence: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233

피보나치 수열 표 계산기란?

이 도구는 지정한 인덱스 범위에 대해 피보나치 수 \(F_n\)의 표를 만들어 줍니다. 첫 번째 인덱스 n, 각 행마다 n이 얼마씩 늘어나는지(증가값), 그리고 몇 개의 행을 표시할지를 설정하면 됩니다. 계산기는 각 n 값과 그에 해당하는 피보나치 값을 함께 나열하고, 수열이 얼마나 빠르게 커지는지를 그래프로 보여 줍니다. 순수한 수학 도구이므로 지역에 따른 차이 없이 어디서든 동일하게 작동합니다.

사용 방법

인덱스 n의 초깃값(가장 먼저 표시할 n), 증가값(각 행마다 n이 늘어나는 정도), 반복 횟수(표시할 행 수)를 입력하세요. 예를 들어 시작 인덱스 1, 증가값 1, 행 수 13으로 설정하면 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... 로 이어지는 고전적인 수열이 \(F_{13} = 233\)까지 출력됩니다.

공식 설명

피보나치 수열은 점화식 \(F_1 = 1\), \(F_2 = 1\), 그리고 \(n \ge 3\)일 때 다음과 같이 정의됩니다.

$$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$$

또한 비네 공식(Binet's formula)

$$F_n = \frac{(1+\sqrt{5})^n - (1-\sqrt{5})^n}{2^n \cdot \sqrt{5}}$$

이라는 닫힌 형태의 식도 있는데, 같은 정수 값을 주지만 n이 커지면 부동소수점 오차가 생길 수 있습니다. 이 계산기는 정확한 정수 점화식을 사용합니다. \(n \le 0\)인 경우에는 일반화된 음수 피보나치(negafibonacci) 규칙 \(F_{-n} = (-1)^{n+1} F_n\)을 적용하므로 \(F_0 = 0\), \(F_{-1} = 1\), \(F_{-2} = -1\)이 됩니다.

각 피보나치 수는 바로 앞 두 수의 합과 같다.

계산 예시

시작 인덱스 5, 증가값 2, 행 수 4로 설정하면 n 값은 5, 7, 9, 11이 됩니다. 각각의 피보나치 값은 5, 13, 34, 89이며, 따라서 표의 마지막 값은 \(F_{11} = 89\)가 됩니다.

피보나치 수 \(F_n\)은 인덱스 n이 커질수록 빠르게 증가한다.

자주 묻는 질문

증가값을 1보다 크게 설정할 수 있나요? 네. 증가값을 2로 하면 두 칸씩 건너뛴 인덱스를, 3으로 하면 세 칸씩 건너뛴 인덱스를 계산합니다.

음수 인덱스도 지원하나요? 네, 음수 피보나치(negafibonacci) 확장을 통해 지원합니다. 시작 인덱스를 0으로 하면 \(F_0 = 0\)이 출력됩니다.

n은 얼마나 크게 넣을 수 있나요? 값은 64비트 정수로 계산되며 대략 \(F_{90}\)까지는 정확합니다. 그 이상에서는 값이 너무 커져 오버플로가 발생할 수 있습니다.