약수 계산기란?
이 도구는 입력한 정수의 양의 약수를 모두 찾아줍니다. 모든 약수를 오름차순으로 나열하고, 약수 쌍으로 묶어 보여주며, 소인수분해 결과를 풀어 쓴 형태와 지수 형태로 함께 제시합니다. 또한 그 수가 소수인지, 합성수인지, 아니면 둘 다 아닌지도 알려드립니다. 양수든 음수든 모든 정수에 사용할 수 있으며, 어느 경우든 약수의 크기(절댓값)는 동일합니다.
사용 방법
"약수를 구할 수:" 칸에 정수를 입력하고 실행하면 됩니다. 결과 화면에는 약수의 개수가 가장 크게 표시되고, 그 아래에 상세 표가 나타납니다. 0은 0이 아닌 모든 정수가 0을 나누어떨어지게 하므로(약수가 무한히 많음) 입력할 수 없으며, 1은 소수도 합성수도 아닌 수로 처리됩니다.
계산 원리
이 계산기는 \(n\)의 제곱근까지 나눠보는 시험 나눗셈(trial division) 방식을 사용합니다. \(i\)를 1부터 \(\lfloor\sqrt{n}\rfloor\)까지 하나씩 확인하면서, \(n\)을 \(i\)로 나눈 나머지가 0이면 \(i\)와 \(\frac{n}{i}\)가 모두 약수가 됩니다:
$$i \times \frac{n}{i} = n$$
이 과정에서 자연스럽게 약수 쌍이 만들어집니다. 소인수분해는 가장 작은 소수부터 반복해서 나누는 방식으로 구합니다:
$$n = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \cdots \times p_k^{a_k}$$
약수의 개수는 다음과 같이 구할 수 있습니다:
$$d(n) = (a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_k+1)$$
약수가 정확히 2개(1과 자기 자신)이면 소수, 2개보다 많으면 합성수입니다.
예제: 72
\(\sqrt{72}\)는 약 8.49이므로 \(i = 1\)부터 8까지 확인합니다. 이때 찾은 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72 — 모두 12개이며, 6개의 쌍으로 묶입니다: \(1\times72\), \(2\times36\), \(3\times24\), \(4\times18\), \(6\times12\), \(8\times9\). 소인수분해는 다음과 같습니다:
$$72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^2$$
약수가 12개이므로 72는 합성수입니다.
자주 묻는 질문
완전제곱수는 왜 약수의 개수가 홀수인가요? 제곱근이 자기 자신과 짝을 이루기 때문입니다(36의 경우 \(6 \times 6\)). 그래서 이 약수 하나는 한 번만 세어집니다.
1은 소수인가요? 아닙니다. 1은 약수가 하나뿐이라 소수도 합성수도 아닌 수로 분류됩니다.
음수에도 약수가 있나요? 네. 음수의 약수는 절댓값의 약수와 크기가 같으므로, 이 계산기는 \(|n|\)의 양의 약수를 보여줍니다.
