분수 평균 계산기 (풀이 과정 포함)

이 계산기로 할 수 있는 것

이 도구는 단순분수, 가분수, 대분수, 그리고 정수가 섞여 있는 값들의 평균(산술평균)을 구합니다. 반올림된 소수만 보여주는 대신 정확하게 약분까지 마친 분수를 결과로 제시하며, 계산의 모든 단계를 함께 보여주므로 분수 사칙연산을 익히는 학습 도구로도 활용할 수 있습니다.

사용 방법

입력란에 값을 쉼표(,)로 구분해 입력하세요. 각 값은 3이나 -5 같은 정수, 1/2이나 9/12 같은 분수, 또는 3 5/8 같은 대분수(정수 부분과 분수 부분 사이에 띄어쓰기)로 넣을 수 있습니다. 맨 앞에 붙은 음수 부호는 값 전체를 음수로 만듭니다. 계산 버튼을 누르면 평균과 그 소수 근삿값이 표시됩니다.

공식 설명

먼저 모든 값을 가분수로 변환합니다. 그다음 최소공통분모(LCD)를 구하는데, 이는 모든 분모의 최소공배수(LCM)입니다. 각 분수를 이 LCD를 분모로 하도록 다시 쓴 뒤, 새로 구한 분자들을 모두 더해 S를 얻습니다. 대분수는 $w\,\tfrac{n}{d} = \frac{w\cdot d + n}{d}$로 변환합니다. 새 분자의 합은 $S = \sum_i a_i\cdot\frac{\text{LCD}}{b_i}$입니다. 따라서 입력값의 총합은 S / LCD가 됩니다. 이를 값의 개수 n으로 나누면 평균이 됩니다:

$$\text{Average} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{a_i}{b_i} = \frac{S}{\text{LCD}\cdot n}$$

마지막으로 최대공약수(GCD)로 약분합니다.

분수를 더한 후 개수로 나누어 평균을 구하는 과정을 보여주는 도표 — 분수의 평균: 모두 더한 뒤, 그 합을 개수로 나눕니다.

예제로 보는 계산

1, 1/2, 3/4, 9/12, 3 5/8, -12/16을 예로 들면, 가분수로 바꾸면 $1/1, 1/2, 3/4, 9/12, 29/8, -12/16$이 되고 $n = 6$입니다. LCD는 48입니다. 분모 48로 통분하면 $48, 24, 36, 36, 174, -36$이 되고, 이들의 합은 282이므로 $282/48 = 47/8$이 됩니다. 이를 6으로 나누면 $47/48 \approx 0.97917$입니다.

분수를 통분하여 평균을 구하는 단계를 보여주는 도표 — 예제: 통분한 뒤 더하고, 분수의 개수로 나눕니다.

더 많은 풀이 예제

각 예제는 동일한 네 단계를 따릅니다: 최소공분모(LCD)를 찾고, 모든 분수를 LCD에 맞게 다시 쓰고 분자를 더한 후, 그 합을 개수 $n$으로 나누고, 결과를 기약분수로 약분합니다.

예제 1 — 세 개의 간단한 분수: $\tfrac13,\ \tfrac16,\ \tfrac14$

최소공분모 분모는 3, 6, 4입니다. 3, 6, 4의 최소공배수는 12입니다.
다시 쓰고 더하기. $\tfrac13=\tfrac{4}{12}$, $\tfrac16=\tfrac{2}{12}$, $\tfrac14=\tfrac{3}{12}$. 합은 $\tfrac{4+2+3}{12}=\tfrac{9}{12}$입니다.
$n=3$으로 나누기. $\dfrac{9/12}{3}=\dfrac{9}{36}$.
약분. $\gcd(9,36)=9$이므로 $\tfrac{9}{36}=\tfrac{1}{4}$입니다.

평균 $=\tfrac14=0.25$.

예제 2 — 음수 대분수: $-1\tfrac12,\ -2\tfrac34$

가분수로 변환. $-1\tfrac12=-\tfrac32$ 그리고 $-2\tfrac34=-\tfrac{11}{4}$.
최소공분모. 분모 2와 4의 최소공분모 $=4$. 다시 쓰기: $-\tfrac32=-\tfrac{6}{4}$, $-\tfrac{11}{4}$는 그대로. 합 $=\tfrac{-6-11}{4}=-\tfrac{17}{4}$.
$n=2$로 나누기. $\dfrac{-17/4}{2}=-\dfrac{17}{8}$.
약분 / 변환. $\gcd(17,8)=1$이므로 이미 기약분수입니다. 대분수로는 $-\tfrac{17}{8}=-2\tfrac18$입니다.

평균 $=-\tfrac{17}{8}=-2.125$.

예제 3 — 정수와 가분수의 혼합: $2,\ 5,\ \tfrac72$

모두 분수로 나타내기. $2=\tfrac21$, $5=\tfrac51$, 그리고 $\tfrac72$.
최소공분모. 분모 1, 1, 2의 최소공분모 $=2$. 다시 쓰기: $\tfrac21=\tfrac42$, $\tfrac51=\tfrac{10}{2}$, $\tfrac72$. 합 $=\tfrac{4+10+7}{2}=\tfrac{21}{2}$.
$n=3$으로 나누기. $\dfrac{21/2}{3}=\dfrac{21}{6}$.
약분. $\gcd(21,6)=3$이므로 $\tfrac{21}{6}=\tfrac72=3\tfrac12$입니다.

평균 $=\tfrac72=3.5$.

주요 용어 설명

산술평균(평균): 모든 값의 합을 값의 개수로 나눈 것: $\bar{x}=\frac1n\sum_{i=1}^{n}x_i$. 분수의 경우 이는 모두를 더한 후 개수 $n$으로 나누는 것을 의미합니다.
분자: 분수 $\tfrac{a}{b}$의 윗부분; 몇 개의 같은 부분을 취하는지를 나타냅니다.
분모: 분수 $\tfrac{a}{b}$의 아랫부분 $b$; 전체가 몇 개의 같은 부분으로 나뉘는지를 나타냅니다. 0이 될 수 없습니다.
가분수: 분자가 분모보다 크거나 같은 분수(예: $\tfrac72$). 그 값은 최소 1이며, 대분수로 다시 쓸 수 있습니다.
대분수: 정수와 진분수를 합친 것(예: $2\tfrac34$). 가분수로 변환하면 $\tfrac{2\cdot4+3}{4}=\tfrac{11}{4}$입니다.
최소공분모(LCD): 모든 분모가 나누어떨어지는 가장 작은 양수, 즉 분모들의 최소공배수입니다. 이를 통해 모든 분수를 하나의 공통 분모로 다시 쓸 수 있으므로 더할 수 있습니다.
최소공배수(LCM): 두 개 이상의 수 각각의 배수가 되는 가장 작은 양의 정수입니다. 분수의 최소공분모는 정확히 분모들의 최소공배수입니다.
최대공약수(GCD): 두 수를 나머지 없이 나누는 가장 큰 양의 정수(최대공약수 또는 최대공인수라고도 함). 분수의 분자와 분모를 최대공약수로 나누면 약분됩니다.
기약분수(가장 간단한 형태): 분수의 분자와 분모가 1 이외의 공약수를 갖지 않을 때, 즉 $\gcd(a,b)=1$일 때의 형태입니다. 예를 들어 $\tfrac{9}{36}$은 $\tfrac14$로 약분됩니다.