Что умеет этот калькулятор
Этот инструмент вычисляет среднее арифметическое для списка значений, в который могут входить обыкновенные дроби, неправильные дроби, смешанные числа и обычные целые числа. Вместо округлённого десятичного результата он выдаёт точную, полностью сокращённую дробь и показывает каждый шаг вычислений — так что калькулятор заодно служит наглядным пособием по действиям с дробями.
Как пользоваться
Введите свои значения в поле, разделяя их запятыми. Каждое значение может быть целым числом, например 3 или -5, дробью вида 1/2 или 9/12, либо смешанным числом, например 3 5/8 (между целой частью и дробью ставьте пробел). Знак минуса в начале меняет знак всего значения. Нажмите «Вычислить», чтобы получить среднее и его десятичное приближение.
Как работает формула
Сначала каждое значение приводится к неправильной дроби. Калькулятор находит наименьший общий знаменатель (НОЗ) — это наименьшее общее кратное (НОК) всех знаменателей — и переписывает каждую дробь с этим знаменателем. Новые числители складываются и дают сумму S, поэтому сумма всех входных значений равна S / НОЗ. Деление на количество значений \(n\) даёт среднее:
$$\text{Среднее} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{a_i}{b_i} = \frac{S}{\text{НОЗ}\cdot n}$$В конце дробь сокращается на наибольший общий делитель (НОД).
Разбор примера
Для 1, 1/2, 3/4, 9/12, 3 5/8, -12/16 неправильными дробями будут \(\tfrac{1}{1}, \tfrac{1}{2}, \tfrac{3}{4}, \tfrac{9}{12}, \tfrac{29}{8}, -\tfrac{12}{16}\), значит \(n = 6\). НОЗ равен 48. При приведении к 48 получаем 48, 24, 36, 36, 174, -36, сумма которых равна 282, то есть \(\tfrac{282}{48} = \tfrac{47}{8}\). Делим на 6 и получаем $$\frac{47}{48} \approx 0{,}97917.$$
Частые вопросы
Можно ли смешивать дроби и целые числа? Да — в одном списке могут одновременно встречаться целые числа, дроби и смешанные числа.
Как ввести отрицательное смешанное число? Напишите -2 1/4; минус меняет знак всего значения, и получается \(-\tfrac{9}{4}\).
Почему результат дробью, а не десятичным числом? Дроби точны и не дают погрешности округления; показанное десятичное число — лишь приближение.
Дополнительные решённые примеры
Каждый пример следует одним и тем же четырём шагам: найти наименьший общий знаменатель (НОЗ), переписать каждую дробь с этим знаменателем и сложить числители, разделить эту сумму на количество \(n\), затем привести результат к несократимому виду.
Пример 1 — Три простые дроби: \(\tfrac13,\ \tfrac16,\ \tfrac14\)
- НОЗ. Знаменатели равны 3, 6 и 4. Наименьшее общее кратное чисел 3, 6 и 4 составляет 12.
- Переписать и сложить. \(\tfrac13=\tfrac{4}{12}\), \(\tfrac16=\tfrac{2}{12}\), \(\tfrac14=\tfrac{3}{12}\). Сумма равна \(\tfrac{4+2+3}{12}=\tfrac{9}{12}\).
- Разделить на \(n=3\). \(\dfrac{9/12}{3}=\dfrac{9}{36}\).
- Привести. \(\gcd(9,36)=9\), поэтому \(\tfrac{9}{36}=\tfrac{1}{4}\).
Среднее значение \(=\tfrac14=0.25\).
Пример 2 — Отрицательные смешанные числа: \(-1\tfrac12,\ -2\tfrac34\)
- Преобразовать в неправильные дроби. \(-1\tfrac12=-\tfrac32\) и \(-2\tfrac34=-\tfrac{11}{4}\).
- НОЗ. Знаменатели 2 и 4 дают НОЗ \(=4\). Переписать: \(-\tfrac32=-\tfrac{6}{4}\), \(-\tfrac{11}{4}\) остаётся без изменений. Сумма \(=\tfrac{-6-11}{4}=-\tfrac{17}{4}\).
- Разделить на \(n=2\). \(\dfrac{-17/4}{2}=-\dfrac{17}{8}\).
- Привести/преобразовать. \(\gcd(17,8)=1\), уже в несократимом виде. В виде смешанного числа \(-\tfrac{17}{8}=-2\tfrac18\).
Среднее значение \(=-\tfrac{17}{8}=-2.125\).
Пример 3 — Целые числа в смешанном виде с неправильной дробью: \(2,\ 5,\ \tfrac72\)
- Записать всё в виде дробей. \(2=\tfrac21\), \(5=\tfrac51\), и \(\tfrac72\).
- НОЗ. Знаменатели 1, 1 и 2 дают НОЗ \(=2\). Переписать: \(\tfrac21=\tfrac42\), \(\tfrac51=\tfrac{10}{2}\), \(\tfrac72\). Сумма \(=\tfrac{4+10+7}{2}=\tfrac{21}{2}\).
- Разделить на \(n=3\). \(\dfrac{21/2}{3}=\dfrac{21}{6}\).
- Привести. \(\gcd(21,6)=3\), поэтому \(\tfrac{21}{6}=\tfrac72=3\tfrac12\).
Среднее значение \(=\tfrac72=3.5\).
Объяснение ключевых терминов
- Среднее арифметическое (среднее значение)
- Сумма всех значений, разделённая на количество значений: \(\bar{x}=\frac1n\sum_{i=1}^{n}x_i\). Для дробей это означает сложить их все вместе и разделить общее значение на количество \(n\).
- Числитель
- Верхнее число дроби \(\tfrac{a}{b}\); оно показывает, сколько равных частей берётся.
- Знаменатель
- Нижнее число \(b\) дроби \(\tfrac{a}{b}\); оно указывает, на сколько равных частей делится целое. Оно не может быть равно нулю.
- Неправильная дробь
- Дробь, числитель которой больше или равен знаменателю, например \(\tfrac72\). Её значение не менее 1, и она может быть переписана в виде смешанного числа.
- Смешанное число
- Целое число в сочетании с правильной дробью, например \(2\tfrac34\). Оно равно \(\tfrac{2\cdot4+3}{4}=\tfrac{11}{4}\) при преобразовании в неправильную дробь.
- Наименьший общий знаменатель (НОЗ)
- Наименьшее положительное число, на которое нацело делится каждый знаменатель — то есть наименьшее общее кратное знаменателей. Это позволяет переписать все дроби с одним общим знаменателем, чтобы их можно было сложить.
- Наименьшее общее кратное (НОК)
- Наименьшее положительное целое число, которое является кратным каждого из двух или более чисел. НОЗ набора дробей — это в точности НОК их знаменателей.
- Наибольший общий делитель (НОД)
- Наибольшее положительное целое число, которое делит два числа без остатка (также называется НОД или ВСД). Деление числителя и знаменателя дроби на их НОД приводит её к несократимому виду.
- Несократимый (простейший) вид
- Дробь находится в простейшем виде, когда её числитель и знаменатель не имеют общего делителя, кроме 1 — то есть \(\gcd(a,b)=1\). Например, \(\tfrac{9}{36}\) приводится к \(\tfrac14\).
