這個計算器的功能
這個工具可以計算一串數值的平均數（算術平均數），這些數值可以包含真分數、假分數、帶分數，以及一般的整數。它不會只給你一個四捨五入後的小數，而是回傳一個精確、且已化到最簡的分數，並逐步顯示完整的運算過程，因此也是學習分數運算的好幫手。
使用方式
把你的數值輸入框中，並以逗號分隔。每個數值可以是整數，例如 3 或 -5；可以是分數，例如 1/2 或 9/12；也可以是帶分數，例如 3 5/8（在整數部分與分數部分之間留一個空格）。在最前面加上負號，會讓整個數值變為負數。按下計算，就能看到平均數及其小數近似值。
公式解析
首先，每個數值都會先轉換成假分數。計算器會找出最小公分母（LCD），也就是所有分母的最小公倍數（LCM），再把每個分數改寫成以這個 LCD 為分母的形式。接著把改寫後的所有分子相加得到 \(S\)，因此所有輸入值的總和為 \(S / \text{LCD}\)。再除以數值的個數 \(n\)，即可得到平均數：
$$\text{Average} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{a_i}{b_i} = \frac{S}{\text{LCD}\cdot n}$$最後，這個分數會以其最大公因數（GCD）約分為最簡分數。
實際範例
以 1, 1/2, 3/4, 9/12, 3 5/8, -12/16 為例，轉換成假分數後分別是 \(1/1\)、\(1/2\)、\(3/4\)、\(9/12\)、\(29/8\)、\(-12/16\)，所以 \(n = 6\)。最小公分母為 48。以 48 為分母改寫後，分子分別為 48、24、36、36、174、-36，總和為 282，因此 \(282/48 = 47/8\)。再除以 6，得到 \(47/48 \approx 0.97917\)。
更多逐步解答示例
每個示例遵循相同的四個步驟：求最小公分母（LCD）、將每個分數改寫成以LCD為分母的形式並相加分子、將該和除以數量 \(n\)，然後化簡至最簡形式。
示例 1 — 三個簡單分數：\(\tfrac13,\ \tfrac16,\ \tfrac14\)
- 最小公分母。分母為 3、6 和 4。3、6 和 4 的最小公倍數是 12。
- 改寫並相加。 \(\tfrac13=\tfrac{4}{12}\)、\(\tfrac16=\tfrac{2}{12}\)、\(\tfrac14=\tfrac{3}{12}\)。和為 \(\tfrac{4+2+3}{12}=\tfrac{9}{12}\)。
- 除以 \(n=3\)。 \(\dfrac{9/12}{3}=\dfrac{9}{36}\)。
- 化簡。 \(\gcd(9,36)=9\)，所以 \(\tfrac{9}{36}=\tfrac{1}{4}\)。
平均值 \(=\tfrac14=0.25\)。
示例 2 — 負帶分數：\(-1\tfrac12,\ -2\tfrac34\)
- 轉換為假分數。 \(-1\tfrac12=-\tfrac32\) 且 \(-2\tfrac34=-\tfrac{11}{4}\)。
- 最小公分母。分母 2 和 4 給出最小公分母 \(=4\)。改寫：\(-\tfrac32=-\tfrac{6}{4}\)、\(-\tfrac{11}{4}\) 保持不變。和 \(=\tfrac{-6-11}{4}=-\tfrac{17}{4}\)。
- 除以 \(n=2\)。 \(\dfrac{-17/4}{2}=-\dfrac{17}{8}\)。
- 化簡 / 轉換。 \(\gcd(17,8)=1\)，已是最簡形式。作為帶分數 \(-\tfrac{17}{8}=-2\tfrac18\)。
平均值 \(=-\tfrac{17}{8}=-2.125\)。
示例 3 — 整數與假分數混合：\(2,\ 5,\ \tfrac72\)
- 將所有內容寫成分數。 \(2=\tfrac21\)、\(5=\tfrac51\) 和 \(\tfrac72\)。
- 最小公分母。分母 1、1 和 2 給出最小公分母 \(=2\)。改寫：\(\tfrac21=\tfrac42\)、\(\tfrac51=\tfrac{10}{2}\)、\(\tfrac72\)。和 \(=\tfrac{4+10+7}{2}=\tfrac{21}{2}\)。
- 除以 \(n=3\)。 \(\dfrac{21/2}{3}=\dfrac{21}{6}\)。
- 化簡。 \(\gcd(21,6)=3\)，所以 \(\tfrac{21}{6}=\tfrac72=3\tfrac12\)。
平均值 \(=\tfrac72=3.5\)。
關鍵術語解釋
- 算術平均數（平均值）
- 所有數值的和除以有多少個數值：\(\bar{x}=\frac1n\sum_{i=1}^{n}x_i\)。對於分數，這表示將它們全部相加並將總和除以數量 \(n\)。
- 分子
- 分數 \(\tfrac{a}{b}\) 的上面數字；它計算取了多少個相等的部分。
- 分母
- 分數 \(\tfrac{a}{b}\) 的下面數字 \(b\)；它說明整體被分成多少個相等的部分。它不能為零。
- 假分數
- 分子大於或等於其分母的分數，例如 \(\tfrac72\)。它的值至少為 1，可以改寫成帶分數。
- 帶分數
- 整數與真分數的組合，例如 \(2\tfrac34\)。轉換為假分數時等於 \(\tfrac{2\cdot4+3}{4}=\tfrac{11}{4}\)。
- 最小公分母（LCD）
- 每個分母都能整除的最小正數——即分母的最小公倍數。它允許您將所有分數改寫成一個共同的分母，以便它們可以被相加。
- 最小公倍數（LCM）
- 是兩個或多個數中每個數的倍數的最小正整數。一組分數的最小公分母正好是它們分母的最小公倍數。
- 最大公因數（GCD）
- 將兩個數整除且沒有餘數的最大正整數（也稱為最大公因子或最高公因子）。將分數的分子和分母除以它們的最大公因數可以化簡該分數。
- 化簡（最簡）形式
- 當分數的分子和分母除了 1 以外沒有其他公因子時，該分數就是最簡形式——即 \(\gcd(a,b)=1\)。例如 \(\tfrac{9}{36}\) 化簡為 \(\tfrac14\)。
常見問題
可以同時混用分數和整數嗎？可以——整數、分數與帶分數都能出現在同一串數值裡。
負的帶分數要怎麼輸入？寫成 -2 1/4；負號會讓整個數值變負，結果為 \(-9/4\)。
為什麼用分數而不是小數？分數是精確的，可以避免四捨五入的誤差；顯示的小數只是一個近似值。
