Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula el promedio (la media aritmética) de una lista de valores que pueden incluir fracciones simples, fracciones impropias, números mixtos y enteros. En lugar de devolverte un decimal redondeado, te ofrece una fracción exacta y totalmente simplificada, y muestra cada paso del proceso, de modo que también sirve como recurso para aprender a operar con fracciones.
Cómo usarla
Escribe tus valores en el recuadro, separados por comas. Cada valor puede ser un entero como 3 o -5, una fracción como 1/2 o 9/12, o un número mixto como 3 5/8 (deja un espacio entre la parte entera y la fracción). Un signo menos al principio cambia el signo de todo el valor. Pulsa calcular para ver el promedio y su aproximación decimal.
La fórmula explicada
Primero, cada valor se convierte en una fracción impropia. La calculadora halla el mínimo común denominador (m.c.d. de denominadores), que es el mínimo común múltiplo de todos los denominadores, y luego reescribe cada fracción sobre ese denominador común. Se suman los numeradores resultantes para obtener S, de manera que el total de los valores es S / m.c.d. Al dividir entre la cantidad de valores n se obtiene la media:
$$\text{Promedio} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{a_i}{b_i} = \frac{S}{\text{m.c.d.}\cdot n}$$Por último, la fracción se simplifica usando su máximo común divisor (M.C.D.).
Ejemplo resuelto
Para 1, 1/2, 3/4, 9/12, 3 5/8, -12/16 las fracciones impropias son \(\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{9}{12}, \frac{29}{8}, -\frac{12}{16}\), así que \(n = 6\). El común denominador es 48. Sobre 48 estas se convierten en \(48, 24, 36, 36, 174, -36\), cuya suma es 282, lo que da $$\frac{282}{48} = \frac{47}{8}.$$ Al dividir entre 6 obtenemos \(\frac{47}{48} \approx 0{,}97917\).
Más ejemplos resueltos
Cada ejemplo sigue los mismos cuatro pasos: encontrar el mínimo común denominador (MCD), reescribir cada fracción sobre el MCD y sumar los numeradores, dividir esa suma por el conteo \(n\), luego reducir el resultado a su forma más simple.
Ejemplo 1 — Tres fracciones simples: \(\tfrac13,\ \tfrac16,\ \tfrac14\)
- MCD. Los denominadores son 3, 6 y 4. El mínimo común múltiplo de 3, 6 y 4 es 12.
- Reescribir y sumar. \(\tfrac13=\tfrac{4}{12}\), \(\tfrac16=\tfrac{2}{12}\), \(\tfrac14=\tfrac{3}{12}\). La suma es \(\tfrac{4+2+3}{12}=\tfrac{9}{12}\).
- Dividir por \(n=3\). \(\dfrac{9/12}{3}=\dfrac{9}{36}\).
- Reducir. \(\gcd(9,36)=9\), entonces \(\tfrac{9}{36}=\tfrac{1}{4}\).
Promedio \(=\tfrac14=0.25\).
Ejemplo 2 — Números mixtos negativos: \(-1\tfrac12,\ -2\tfrac34\)
- Convertir a fracciones impropias. \(-1\tfrac12=-\tfrac32\) y \(-2\tfrac34=-\tfrac{11}{4}\).
- MCD. Los denominadores 2 y 4 dan MCD \(=4\). Reescribir: \(-\tfrac32=-\tfrac{6}{4}\), \(-\tfrac{11}{4}\) se mantiene. Suma \(=\tfrac{-6-11}{4}=-\tfrac{17}{4}\).
- Dividir por \(n=2\). \(\dfrac{-17/4}{2}=-\dfrac{17}{8}\).
- Reducir / convertir. \(\gcd(17,8)=1\), ya está reducido. Como número mixto \(-\tfrac{17}{8}=-2\tfrac18\).
Promedio \(=-\tfrac{17}{8}=-2.125\).
Ejemplo 3 — Números enteros mezclados con una fracción impropia: \(2,\ 5,\ \tfrac72\)
- Escribir todo como fracciones. \(2=\tfrac21\), \(5=\tfrac51\), y \(\tfrac72\).
- MCD. Los denominadores 1, 1 y 2 dan MCD \(=2\). Reescribir: \(\tfrac21=\tfrac42\), \(\tfrac51=\tfrac{10}{2}\), \(\tfrac72\). Suma \(=\tfrac{4+10+7}{2}=\tfrac{21}{2}\).
- Dividir por \(n=3\). \(\dfrac{21/2}{3}=\dfrac{21}{6}\).
- Reducir. \(\gcd(21,6)=3\), entonces \(\tfrac{21}{6}=\tfrac72=3\tfrac12\).
Promedio \(=\tfrac72=3.5\).
Términos clave explicados
- Media aritmética (promedio)
- La suma de todos los valores dividida por cuántos valores hay: \(\bar{x}=\frac1n\sum_{i=1}^{n}x_i\). Para fracciones, esto significa sumarlas todas y dividir el total por el conteo \(n\).
- Numerador
- El número superior de una fracción \(\tfrac{a}{b}\); cuenta cuántas partes iguales se toman.
- Denominador
- El número inferior \(b\) de una fracción \(\tfrac{a}{b}\); indica en cuántas partes iguales se divide el todo. No puede ser cero.
- Fracción impropia
- Una fracción cuyo numerador es mayor que o igual a su denominador, como \(\tfrac72\). Su valor es al menos 1, y se puede reescribir como un número mixto.
- Número mixto
- Un número entero combinado con una fracción propia, como \(2\tfrac34\). Es igual a \(\tfrac{2\cdot4+3}{4}=\tfrac{11}{4}\) cuando se convierte a una fracción impropia.
- Mínimo común denominador (MCD)
- El número positivo más pequeño que cada denominador divide de manera exacta — es decir, el mínimo común múltiplo de los denominadores. Permite reescribir todas las fracciones sobre un denominador compartido para que puedan sumarse.
- Mínimo común múltiplo (MCM)
- El número entero positivo más pequeño que es múltiplo de cada uno de dos o más números. El MCD de un conjunto de fracciones es exactamente el MCM de sus denominadores.
- Máximo común divisor (MCD)
- El número entero positivo más grande que divide dos números sin dejar residuo (también llamado MCF o MFC). Dividir el numerador y el denominador de una fracción por su MCD la reduce.
- Forma reducida (más simple)
- Una fracción está en su forma más simple cuando su numerador y denominador no comparten ningún factor común excepto el 1 — es decir, \(\gcd(a,b)=1\). Por ejemplo, \(\tfrac{9}{36}\) se reduce a \(\tfrac14\).
Preguntas frecuentes
¿Puedo mezclar fracciones y números enteros? Sí: enteros, fracciones y números mixtos pueden aparecer todos en la misma lista.
¿Cómo introduzco un número mixto negativo? Escribe -2 1/4; el signo menos cambia el signo de todo el valor, dando \(-\frac{9}{4}\).
¿Por qué una fracción en lugar de un decimal? Las fracciones son exactas y evitan los errores de redondeo; el decimal que se muestra es solo una aproximación.
