ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة متوسط (المعدل الحسابي) لقائمة من القيم التي قد تتضمن كسوراً بسيطة وكسوراً غير حقيقية وأعداداً كسرية وأعداداً صحيحة. وبدلاً من أن تعطيك قيمة عشرية مقرّبة، فإنها تُرجع كسراً دقيقاً ومبسّطاً بالكامل وتعرض كل خطوة من خطوات الحل، فتصبح بذلك وسيلة تعليمية ممتازة لإتقان عمليات الكسور.
طريقة الاستخدام
اكتب قيمك داخل المربع مفصولة بفواصل. يمكن أن تكون كل قيمة عدداً صحيحاً مثل 3 أو -5، أو كسراً مثل 1/2 أو 9/12، أو عدداً كسرياً مثل 3 5/8 (ضع مسافة بين الجزء الصحيح والكسر). وتؤدي إشارة الناقص في البداية إلى جعل القيمة بأكملها سالبة. اضغط على زر الحساب لتظهر لك قيمة المتوسط مع تقريبها العشري.
شرح القانون
أولاً، يجري تحويل كل قيمة إلى كسر غير حقيقي. ثم تحدد الحاسبة المقام المشترك الأصغر (LCD)، وهو المضاعف المشترك الأصغر لجميع المقامات، وتعيد كتابة كل كسر على هذا المقام المشترك. بعد ذلك تُجمع البسوط الناتجة لتعطي S، فيكون مجموع المدخلات هو \(S / \text{LCD}\). وبقسمة الناتج على عدد القيم \(n\) نحصل على المتوسط: $$\text{Average} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{a_i}{b_i} = \frac{S}{\text{LCD}\cdot n}$$. وأخيراً يُبسَّط الكسر بقسمته على القاسم المشترك الأكبر (GCD).
مثال محلول
بالنسبة للقيم 1, 1/2, 3/4, 9/12, 3 5/8, -12/16 تكون الكسور غير الحقيقية: \(1/1\)، \(1/2\)، \(3/4\)، \(9/12\)، \(29/8\)، \(-12/16\)، أي أن \(n = 6\). والمقام المشترك الأصغر هو 48. وعلى المقام 48 تصبح هذه القيم: \(48\)، \(24\)، \(36\)، \(36\)، \(174\)، \(-36\)، ومجموعها 282، فينتج $$282/48 = 47/8.$$ وبقسمة الناتج على 6 نحصل على \(47/48 \approx 0.97917\).
أمثلة عملية إضافية
يتبع كل مثال نفس الخطوات الأربع: إيجاد أصغر مقام مشترك (LCD)، إعادة كتابة كل كسر على أساس LCD وإضافة البسط، قسم هذا المجموع على العدد \(n\)، ثم اختزل النتيجة إلى أبسط صورة.
المثال 1 — ثلاثة كسور بسيطة: \(\tfrac13,\ \tfrac16,\ \tfrac14\)
- أصغر مقام مشترك. المقامات هي 3 و 6 و 4. أصغر مضاعف مشترك للعددين 3 و 6 و 4 هو 12.
- إعادة الكتابة والجمع. \(\tfrac13=\tfrac{4}{12}\), \(\tfrac16=\tfrac{2}{12}\), \(\tfrac14=\tfrac{3}{12}\). المجموع هو \(\tfrac{4+2+3}{12}=\tfrac{9}{12}\).
- قسم على \(n=3\). \(\dfrac{9/12}{3}=\dfrac{9}{36}\).
- اختزل. \(\gcd(9,36)=9\)، لذا \(\tfrac{9}{36}=\tfrac{1}{4}\).
المتوسط \(=\tfrac14=0.25\).
المثال 2 — أعداد كسرية سالبة: \(-1\tfrac12,\ -2\tfrac34\)
- تحويل إلى كسور غير صحيحة. \(-1\tfrac12=-\tfrac32\) و \(-2\tfrac34=-\tfrac{11}{4}\).
- أصغر مقام مشترك. المقامات 2 و 4 تعطي LCD \(=4\). إعادة الكتابة: \(-\tfrac32=-\tfrac{6}{4}\)، \(-\tfrac{11}{4}\) يبقى كما هو. المجموع \(=\tfrac{-6-11}{4}=-\tfrac{17}{4}\).
- قسم على \(n=2\). \(\dfrac{-17/4}{2}=-\dfrac{17}{8}\).
- اختزل / حول. \(\gcd(17,8)=1\)، مختزل بالفعل. كعدد كسري \(-\tfrac{17}{8}=-2\tfrac18\).
المتوسط \(=-\tfrac{17}{8}=-2.125\).
المثال 3 — أعداد صحيحة مختلطة مع كسر غير صحيح: \(2,\ 5,\ \tfrac72\)
- اكتب كل شيء على صورة كسور. \(2=\tfrac21\), \(5=\tfrac51\), و \(\tfrac72\).
- أصغر مقام مشترك. المقامات 1 و 1 و 2 تعطي LCD \(=2\). إعادة الكتابة: \(\tfrac21=\tfrac42\), \(\tfrac51=\tfrac{10}{2}\), \(\tfrac72\). المجموع \(=\tfrac{4+10+7}{2}=\tfrac{21}{2}\).
- قسم على \(n=3\). \(\dfrac{21/2}{3}=\dfrac{21}{6}\).
- اختزل. \(\gcd(21,6)=3\)، لذا \(\tfrac{21}{6}=\tfrac72=3\tfrac12\).
المتوسط \(=\tfrac72=3.5\).
شرح المصطلحات الأساسية
- الوسط الحسابي (المتوسط)
- مجموع جميع القيم مقسوماً على عدد القيم: \(\bar{x}=\frac1n\sum_{i=1}^{n}x_i\). بالنسبة للكسور، هذا يعني جمعها جميعاً وقسمة المجموع على العدد \(n\).
- البسط
- الرقم العلوي من كسر \(\tfrac{a}{b}\)؛ يحسب عدد الأجزاء المتساوية المأخوذة.
- المقام
- الرقم السفلي \(b\) من كسر \(\tfrac{a}{b}\)؛ يحدد عدد الأجزاء المتساوية التي ينقسم إليها الكل. لا يمكن أن يكون صفراً.
- الكسر غير الصحيح
- كسر بسطه أكبر من أو يساوي مقامه، مثل \(\tfrac72\). قيمته تساوي واحداً على الأقل، ويمكن إعادة كتابته كعدد كسري.
- العدد الكسري
- عدد صحيح مدمج مع كسر حقيقي، مثل \(2\tfrac34\). إنه يساوي \(\tfrac{2\cdot4+3}{4}=\tfrac{11}{4}\) عند تحويله إلى كسر غير صحيح.
- أصغر مقام مشترك (LCD)
- أصغر عدد موجب يقسم عليه كل مقام بالتساوي — أي أصغر مضاعف مشترك للمقامات. يتيح لك إعادة كتابة جميع الكسور على مقام موحد واحد حتى يمكن إضافتها.
- أصغر مضاعف مشترك (LCM)
- أصغر عدد صحيح موجب يكون مضاعفاً لكل من رقمين أو أكثر. أصغر مقام مشترك لمجموعة من الكسور هو بالضبط أصغر مضاعف مشترك لمقاماتها.
- أكبر عامل مشترك (GCD)
- أكبر عدد صحيح موجب يقسم رقمين بدون باقٍ (يُسمى أيضاً GCF أو HCF). قسمة بسط الكسر ومقامه على أكبر عامل مشترك بينهما يختزل الكسر.
- الصورة المختزلة (الأبسط)
- يكون الكسر في أبسط صورة عندما لا يشترك البسط والمقام في أي عامل آخر غير 1 — أي \(\gcd(a,b)=1\). على سبيل المثال \(\tfrac{9}{36}\) يختزل إلى \(\tfrac14\).
الأسئلة الشائعة
هل يمكنني الجمع بين الكسور والأعداد الصحيحة؟ نعم — يمكن أن تظهر الأعداد الصحيحة والكسور والأعداد الكسرية معاً في القائمة نفسها.
كيف أُدخِل عدداً كسرياً سالباً؟ اكتبه هكذا -2 1/4؛ فإشارة الناقص تجعل القيمة بأكملها سالبة، أي \(-9/4\).
لماذا كسر بدلاً من قيمة عشرية؟ لأن الكسور دقيقة وتتجنب أخطاء التقريب؛ أما القيمة العشرية المعروضة فهي مجرد تقريب.
