यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल ऐसी संख्याओं की सूची का औसत (समांतर माध्य) निकालता है जिनमें साधारण भिन्न, विषम (इम्प्रॉपर) भिन्न, मिश्रित संख्याएँ और सामान्य पूर्णांक शामिल हो सकते हैं। यह आपको गोल किया हुआ दशमलव देने के बजाय एक सटीक और पूरी तरह सरलीकृत भिन्न देता है और हल का हर चरण दिखाता है — यानी भिन्नों की गणित सीखने में भी यह आपकी मदद करता है।
इसका इस्तेमाल कैसे करें
अपनी संख्याएँ बॉक्स में कॉमा से अलग करके लिखें। हर संख्या 3 या -5 जैसा पूर्णांक हो सकती है, 1/2 या 9/12 जैसी भिन्न हो सकती है, या 3 5/8 जैसी मिश्रित संख्या हो सकती है (पूर्ण भाग और भिन्न के बीच एक स्पेस दें)। शुरू में लगा माइनस का चिह्न पूरी संख्या को ऋणात्मक बना देता है। औसत और उसका दशमलव मान देखने के लिए कैलकुलेट पर क्लिक करें।
फॉर्मूला समझें
सबसे पहले हर संख्या को विषम भिन्न (इम्प्रॉपर फ्रैक्शन) में बदला जाता है। कैलकुलेटर लघुतम सामान्य हर (LCD) निकालता है, जो सभी हरों का LCM होता है, और फिर हर भिन्न को उसी LCD पर लिख देता है। नई बनी अंश-संख्याओं को जोड़कर \(S\) निकाला जाता है, यानी सभी इनपुट का कुल योग \(S / \text{LCD}\) होता है। इसे संख्याओं की कुल गिनती \(n\) से भाग देने पर माध्य मिलता है: $$\text{Average} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{a_i}{b_i} = \frac{S}{\text{LCD}\cdot n}$$ अंत में भिन्न को उसके महत्तम समापवर्तक (GCD) से सरल कर दिया जाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
1, 1/2, 3/4, 9/12, 3 5/8, -12/16 के लिए विषम भिन्न होंगी \(1/1, 1/2, 3/4, 9/12, 29/8, -12/16\), तो \(n = 6\) है। LCD है \(48\)। \(48\) के हर पर ये बन जाती हैं \(48, 24, 36, 36, 174, -36\), जिनका योग \(282\) है — यानी $$\frac{282}{48} = \frac{47}{8}$$ इसे \(6\) से भाग देने पर $$\frac{47}{48} \approx 0.97917$$ मिलता है।
अधिक हल किए गए उदाहरण
प्रत्येक उदाहरण समान चार चरणों का अनुसरण करता है: सबसे कम सामान्य हर (LCD) खोजें, हर LCD के ऊपर हर भिन्न को फिर से लिखें और अंशों को जोड़ें, उस योग को गिनती \(n\) से विभाजित करें, फिर परिणाम को सरलतम रूप में घटाएं।
उदाहरण 1 — तीन सरल भिन्न: \(\tfrac13,\ \tfrac16,\ \tfrac14\)
- LCD। हर 3, 6 और 4 हैं। 3, 6 और 4 का सबसे कम सामान्य गुणज 12 है।
- फिर से लिखें और जोड़ें। \(\tfrac13=\tfrac{4}{12}\), \(\tfrac16=\tfrac{2}{12}\), \(\tfrac14=\tfrac{3}{12}\)। योग \(\tfrac{4+2+3}{12}=\tfrac{9}{12}\) है।
- \(n=3\) से विभाजित करें। \(\dfrac{9/12}{3}=\dfrac{9}{36}\)।
- घटाएं। \(\gcd(9,36)=9\), इसलिए \(\tfrac{9}{36}=\tfrac{1}{4}\)।
औसत \(=\tfrac14=0.25\)।
उदाहरण 2 — नकारात्मक मिश्रित संख्याएं: \(-1\tfrac12,\ -2\tfrac34\)
- अनुचित भिन्नों में परिवर्तित करें। \(-1\tfrac12=-\tfrac32\) और \(-2\tfrac34=-\tfrac{11}{4}\)।
- LCD। हर 2 और 4 LCD \(=4\) देते हैं। फिर से लिखें: \(-\tfrac32=-\tfrac{6}{4}\), \(-\tfrac{11}{4}\) वैसा ही रहता है। योग \(=\tfrac{-6-11}{4}=-\tfrac{17}{4}\)।
- \(n=2\) से विभाजित करें। \(\dfrac{-17/4}{2}=-\dfrac{17}{8}\)।
- घटाएं / परिवर्तित करें। \(\gcd(17,8)=1\), पहले से ही घटा हुआ है। मिश्रित संख्या के रूप में \(-\tfrac{17}{8}=-2\tfrac18\)।
औसत \(=-\tfrac{17}{8}=-2.125\)।
उदाहरण 3 — पूर्ण संख्याओं को अनुचित भिन्न के साथ मिलाया गया: \(2,\ 5,\ \tfrac72\)
- सब कुछ भिन्न के रूप में लिखें। \(2=\tfrac21\), \(5=\tfrac51\), और \(\tfrac72\)।
- LCD। हर 1, 1 और 2 LCD \(=2\) देते हैं। फिर से लिखें: \(\tfrac21=\tfrac42\), \(\tfrac51=\tfrac{10}{2}\), \(\tfrac72\)। योग \(=\tfrac{4+10+7}{2}=\tfrac{21}{2}\)।
- \(n=3\) से विभाजित करें। \(\dfrac{21/2}{3}=\dfrac{21}{6}\)।
- घटाएं। \(\gcd(21,6)=3\), इसलिए \(\tfrac{21}{6}=\tfrac72=3\tfrac12\)।
औसत \(=\tfrac72=3.5\)।
मुख्य शर्तें समझाई गई
- अंकगणितीय माध्य (औसत)
- सभी मानों का योग उतना ही विभाजित किया जाता है कि कितने मान हैं: \(\bar{x}=\frac1n\sum_{i=1}^{n}x_i\)। भिन्नों के लिए इसका मतलब है कि उन्हें सभी एक साथ जोड़ना और कुल को गिनती \(n\) से विभाजित करना।
- अंश
- एक भिन्न \(\tfrac{a}{b}\) की शीर्ष संख्या; यह गिनता है कि कितने बराबर भाग लिए गए हैं।
- हर
- एक भिन्न \(\tfrac{a}{b}\) की नीचे की संख्या \(b\); यह बताता है कि पूरे को कितने बराबर भागों में विभाजित किया गया है। यह शून्य नहीं हो सकता।
- अनुचित भिन्न
- एक भिन्न जिसका अंश इसके हर से अधिक या बराबर है, जैसे \(\tfrac72\)। इसका मान कम से कम 1 है, और इसे मिश्रित संख्या के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
- मिश्रित संख्या
- एक पूर्ण संख्या को एक उचित भिन्न के साथ जोड़ा जाता है, जैसे \(2\tfrac34\)। यह \(\tfrac{2\cdot4+3}{4}=\tfrac{11}{4}\) के बराबर होता है जब अनुचित भिन्न में परिवर्तित किया जाता है।
- सबसे कम सामान्य हर (LCD)
- सबसे छोटी सकारात्मक संख्या जिससे हर प्रत्येक हर समान रूप से विभाजित होता है — अर्थात् हरों का सबसे कम सामान्य गुणज। यह आपको सभी भिन्नों को एक साझा हर के ऊपर फिर से लिखने देता है ताकि उन्हें जोड़ा जा सके।
- सबसे कम सामान्य गुणज (LCM)
- सबसे छोटा सकारात्मक पूर्णांक जो दो या अधिक संख्याओं का गुणज है। भिन्नों के एक समूह का LCD उनके हरों का बिल्कुल LCM है।
- सबसे बड़ा सामान्य विभाजक (GCD)
- सबसे बड़ा सकारात्मक पूर्णांक जो दो संख्याओं को शेष के बिना विभाजित करता है (जिसे GCF या HCF भी कहा जाता है)। एक भिन्न के अंश और हर को उनके GCD से विभाजित करने से यह घट जाता है।
- घटा हुआ (सरलतम) रूप
- एक भिन्न सरलतम रूप में होती है जब इसके अंश और हर 1 के अलावा कोई सामान्य कारक साझा नहीं करते — अर्थात् \(\gcd(a,b)=1\)। उदाहरण के लिए \(\tfrac{9}{36}\) \(\tfrac14\) तक घटता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या मैं भिन्न और पूर्ण संख्याएँ एक साथ मिला सकता हूँ? हाँ — पूर्णांक, भिन्न और मिश्रित संख्याएँ सभी एक ही सूची में आ सकती हैं।
ऋणात्मक मिश्रित संख्या कैसे लिखें? -2 1/4 लिखें; माइनस पूरी संख्या को ऋणात्मक बना देता है, जिससे \(-9/4\) बनता है।
दशमलव की जगह भिन्न ही क्यों? भिन्न सटीक होती हैं और गोल करने की गलती से बचाती हैं; दिखाया गया दशमलव तो बस एक अनुमानित मान है।
