포흐하머 기호(상승 계승) 계산기

계산 입력

x (밑, 임의의 실수)

n (number of factors, integer ≥ 0)

결과

Pochhammer Symbol (x)_n

151,200

rising factorial of x = -10 with n = 6

밑 x	-10
개수 n	6
정의	(x)n = x(x+1)...(x+n-1)

포흐하머 기호란?

포흐하머 기호(Pochhammer symbol)는 상승 계승(rising factorial)이라고도 부르며, \((x)_{n}\) 으로 표기합니다. 이는 x에서 시작해 1씩 커지는 n개의 연속된 인수를 모두 곱한 값을 뜻합니다: $$(x)_{n} = x(x+1)(x+2)\dots(x+n-1).$$ \((1)_{n} = n!\) 이 성립하므로 일반적인 계승(팩토리얼)을 확장한 개념이라 볼 수 있으며, 조합론, 초기하급수(hypergeometric series), 특수함수 이론 등 다양한 분야에서 등장합니다. 이 계산기는 임의의 실수 밑 \(x\)와 음이 아닌 정수 \(n\)에 대해 \((x)_{n}\) 값을 구해 줍니다.

포흐하머 기호는 각 인수가 이전보다 큰 n개의 연속된 인수를 곱한 것입니다.

계산기 사용법

밑 값 x(음수, 분수, 0도 가능)와 인수의 개수 n(0 이상의 정수)을 입력한 뒤 계산 버튼을 누르면 상승 계승 값이 나옵니다. 공곱(empty product) 규약에 따라 모든 \(x\)에 대해 \((x)_{0} = 1\) 이며, \((x)_{1} = x\) 입니다. 만약 \(x\)가 0 이하의 정수이고 인수 중 하나가 정확히 0이 되면, 그 곱은 정확히 0이 됩니다.

공식 풀이

곱셈 형태로는 \(x\)에 \(x+1\), 그다음 \(x+2\) …를 차례로 곱해 \(x+n-1\)까지, 즉 총 \(n\)개의 항을 곱합니다. 같은 값을 감마 함수로 표현하면 $$(x)_{n} = \frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}$$ 가 됩니다. 이 계산기는 직접 곱셈 방식을 사용하는데, 정수 \(n\)에 대해 정확하고, 감마 함수의 오버플로(overflow)를 피하며, 어떤 인수가 0이 될 때 정확히 0을 반환합니다.

상승 계승은 두 감마 함수 값의 비와 같습니다.

계산 예시

기본값 \(x = -10\), \(n = 6\) 으로 계산하면 \((-10)(-9)(-8)(-7)(-6)(-5)\) 입니다. 한 단계씩 곱해 보면 \(-10 \times -9 = 90\), \(90 \times -8 = -720\), \(-720 \times -7 = 5040\), \(5040 \times -6 = -30240\), 그리고 \(-30240 \times -5 = 151200\) 입니다. 따라서 $$(-10)_{6} = 151200$$ 이 됩니다.

자주 묻는 질문

\((x)_{0}\) 의 값은 무엇인가요? \(x\)가 무엇이든 공곱 규약에 따라 항상 1입니다.

\(x\)가 음수나 분수여도 되나요? 네, 됩니다. 곱셈은 어떤 실수 \(x\)에 대해서도 가능합니다. 예를 들어 \((5)_{3} = 5 \times 6 \times 7 = 210\) 이고, 0 이하의 정수를 밑으로 쓰면 결과가 0이 될 수 있습니다.

큰 값을 넣으면 왜 정밀도가 떨어지나요? 상승 계승은 매우 빠르게 커지기 때문에, \(|x|\)나 \(n\)이 아주 크면 일반적인 부동소수점 연산의 표현 범위를 넘어 반올림 오차나 오버플로가 나타날 수 있습니다.