포흐하머 기호(상승 계승) 계산기

결과

Pochhammer Symbol (x)_n

151,200

rising factorial of x = -10 with n = 6

밑 x	-10
개수 n	6
정의	(x)_n = x(x+1)...(x+n-1)

포흐하머 기호란?

포흐하머 기호(Pochhammer symbol)는 상승 계승(rising factorial)이라고도 부르며, $(x)_{n}$ 으로 표기합니다. 이는 x에서 시작해 1씩 커지는 n개의 연속된 인수를 모두 곱한 값을 뜻합니다: $$(x)_{n} = x(x+1)(x+2)\dots(x+n-1).$$ $(1)_{n} = n!$ 이 성립하므로 일반적인 계승(팩토리얼)을 확장한 개념이라 볼 수 있으며, 조합론, 초기하급수(hypergeometric series), 특수함수 이론 등 다양한 분야에서 등장합니다. 이 계산기는 임의의 실수 밑 $x$와 음이 아닌 정수 $n$에 대해 $(x)_{n}$ 값을 구해 줍니다.

연속적으로 증가하는 인수의 곱으로 표현된 상승 계승 — 포흐하머 기호는 각 인수가 이전보다 큰 n개의 연속된 인수를 곱한 것입니다.

계산기 사용법

밑 값 x(음수, 분수, 0도 가능)와 인수의 개수 n(0 이상의 정수)을 입력한 뒤 계산 버튼을 누르면 상승 계승 값이 나옵니다. 공곱(empty product) 규약에 따라 모든 $x$에 대해 $(x)_{0} = 1$ 이며, $(x)_{1} = x$ 입니다. 만약 $x$가 0 이하의 정수이고 인수 중 하나가 정확히 0이 되면, 그 곱은 정확히 0이 됩니다.

공식 풀이

곱셈 형태로는 $x$에 $x+1$, 그다음 $x+2$ …를 차례로 곱해 $x+n-1$까지, 즉 총 $n$개의 항을 곱합니다. 같은 값을 감마 함수로 표현하면 $$(x)_{n} = \frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}$$ 가 됩니다. 이 계산기는 직접 곱셈 방식을 사용하는데, 정수 $n$에 대해 정확하고, 감마 함수의 오버플로(overflow)를 피하며, 어떤 인수가 0이 될 때 정확히 0을 반환합니다.

두 감마 함수의 비와 같은 포흐하머 기호 — 상승 계승은 두 감마 함수 값의 비와 같습니다.

계산 예시

기본값 $x = -10$, $n = 6$ 으로 계산하면 $(-10)(-9)(-8)(-7)(-6)(-5)$ 입니다. 한 단계씩 곱해 보면 $-10 \times -9 = 90$, $90 \times -8 = -720$, $-720 \times -7 = 5040$, $5040 \times -6 = -30240$, 그리고 $-30240 \times -5 = 151200$ 입니다. 따라서 $$(-10)_{6} = 151200$$ 이 됩니다.