Qu'est-ce que le symbole de Pochhammer ?
Le symbole de Pochhammer, aussi appelé factorielle croissante, se note \((x)_n\) et désigne le produit de n facteurs consécutifs croissants à partir de x : \((x)_n = x(x+1)(x+2)\ldots(x+n-1)\). Il généralise la factorielle ordinaire, puisque \((1)_n = n!\), et on le retrouve partout en combinatoire, dans les séries hypergéométriques et dans la théorie des fonctions spéciales. Ce calculateur évalue \((x)_n\) pour n'importe quelle base réelle x et tout nombre de facteurs n entier positif ou nul.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez la valeur de base x (elle peut être négative, fractionnaire ou nulle) ainsi que le nombre de facteurs n (un entier supérieur ou égal à 0). Cliquez sur « Calculer » pour obtenir la valeur de la factorielle croissante. Par convention du produit vide, \((x)_0 = 1\) quel que soit x, et \((x)_1 = x\). Si x est un entier négatif ou nul et que l'un des facteurs tombe exactement sur zéro, le produit vaut exactement 0.
La formule expliquée
La forme produit multiplie x par x+1, puis par x+2, et ainsi de suite jusqu'à x+n-1 — soit n termes au total.
$$(x)_n = \prod_{k=0}^{n-1}\left(x+k\right)$$De façon équivalente, on peut l'écrire à l'aide de la fonction Gamma : \((x)_n = \Gamma(x+n) / \Gamma(x)\). Ce calculateur utilise le produit direct, qui est exact pour n entier, évite tout dépassement lié à la fonction Gamma et renvoie correctement 0 dès qu'un facteur s'annule.
Exemple détaillé
Avec les valeurs par défaut x = -10 et n = 6 :
$$(-10)(-9)(-8)(-7)(-6)(-5)$$En multipliant pas à pas, on obtient \(-10 \times -9 = 90\), \(90 \times -8 = -720\), \(-720 \times -7 = 5040\), \(5040 \times -6 = -30240\), puis \(-30240 \times -5 = 151200\). Donc \((-10)_6 = 151200\).
FAQ
Que vaut \((x)_0\) ? Toujours 1, par convention du produit vide, quelle que soit la valeur de x.
x peut-il être négatif ou fractionnaire ? Oui. Le produit accepte n'importe quel réel x ; par exemple \((5)_3 = 5 \times 6 \times 7 = 210\), et une base entière négative ou nulle peut donner zéro.
Pourquoi de grandes valeurs peuvent-elles perdre en précision ? La factorielle croissante augmente extrêmement vite : des |x| ou n très élevés peuvent dépasser la plage de l'arithmétique à virgule flottante standard et entraîner des arrondis ou un débordement.
