ポッホハンマー記号とは
ポッホハンマー記号は上昇階乗とも呼ばれ、\((x)_n\) と書きます。これは x から始めて 1 ずつ増えていく n 個の因子の積を表します。すなわち $$(x)_n = x(x+1)(x+2)\dots(x+n-1)$$ です。\((1)_n = n!\) となることから、通常の階乗を一般化した概念だといえます。組合せ論、超幾何級数、特殊関数論など幅広い分野で登場します。本計算ツールでは、任意の実数の底 \(x\) と 0 以上の整数 \(n\) に対して \((x)_n\) を求めます。
使い方
底の値 x（負の数・分数・0 でも可）と、因子の個数 n（0 以上の整数）を入力し、計算ボタンを押すと上昇階乗の値が得られます。空積の慣例により、どんな x についても \((x)_0 = 1\) とし、\((x)_1 = x\) となります。x が 0 以下の整数で、因子のいずれかがちょうど 0 になる場合、積はちょうど 0 になります。
計算式の解説
積の形では、x に x+1、x+2…と順に掛けていき、x+n-1 まで合計 n 項を掛け合わせます。これはガンマ関数を用いて $$(x)_n = \frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}$$ とも書けます。本計算ツールでは直接積を用いており、整数 n に対して厳密で、ガンマ関数のオーバーフローを避けられ、因子のいずれかが 0 になるときには正しく 0 を返します。
計算例
初期値 \(x = -10\)、\(n = 6\) の場合：\((-10)(-9)(-8)(-7)(-6)(-5)\) を計算します。順に掛けると、$$-10 \times -9 = 90$$ $$90 \times -8 = -720$$ $$-720 \times -7 = 5040$$ $$5040 \times -6 = -30240$$ $$-30240 \times -5 = 151200$$ となります。したがって \((-10)_6 = 151200\) です。
よくある質問
\((x)_0\) はいくつになりますか？ 空積の慣例により、x の値にかかわらず常に 1 です。
x は負の数や分数でもよいですか？ はい。積は任意の実数 x を扱えます。例えば \((5)_3 = 5\times 6\times 7 = 210\) となり、底が 0 以下の整数の場合は 0 になることもあります。
大きな値を入力すると精度が落ちるのはなぜですか？ 上昇階乗は非常に速く増大するため、\(|x|\) や n が極端に大きいと標準的な浮動小数点演算の範囲を超え、丸め誤差やオーバーフローが生じることがあります。
