पोखहैमर प्रतीक (राइज़िंग फैक्टोरियल) कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

x (आधार, कोई भी वास्तविक संख्या)

n (number of factors, integer ≥ 0)

परिणाम

Pochhammer Symbol (x)_n

151,200

rising factorial of x = -10 with n = 6

आधार x	-10
संख्या n	6
परिभाषा	(x)n = x(x+1)...(x+n-1)

पोखहैमर प्रतीक क्या है?

पोखहैमर प्रतीक, जिसे राइज़िंग फैक्टोरियल भी कहा जाता है, को \((x)_n\) के रूप में लिखा जाता है। यह x से शुरू होने वाले n लगातार बढ़ते गुणनखंडों के गुणनफल को दर्शाता है: $$(x)_n = x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)$$ यह साधारण फैक्टोरियल का व्यापक रूप है, क्योंकि \((1)_n = n!\) होता है। यह प्रतीक संयोजनिकी (combinatorics), हाइपरज्योमेट्रिक श्रेणियों और विशेष फलनों के सिद्धांत में बार-बार सामने आता है। यह कैलकुलेटर किसी भी वास्तविक आधार x और किसी भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक n के लिए \((x)_n\) का मान निकालता है।

पॉकहैमर प्रतीक n क्रमागत गुणनखंडों का गुणनफल है, जिनमें प्रत्येक पिछले से बड़ा होता है।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

आधार मान x दर्ज करें (यह ऋणात्मक, भिन्नात्मक या शून्य हो सकता है) और गुणनखंडों की संख्या n डालें (0 या उससे बड़ा एक पूर्ण अंक)। राइज़िंग फैक्टोरियल का मान पाने के लिए "गणना करें" दबाएँ। रिक्त गुणनफल नियम के अनुसार हर x के लिए \((x)_0 = 1\) होता है, और \((x)_1 = x\)। यदि x एक गैर-धनात्मक पूर्णांक है और कोई गुणनखंड ठीक शून्य पर आ जाता है, तो गुणनफल बिल्कुल 0 होगा।

सूत्र की व्याख्या

गुणनफल रूप में x को x+1 से, फिर x+2 से, और इसी तरह x+n-1 तक गुणा किया जाता है — कुल मिलाकर n पद। समान रूप से इसे गामा फलन के साथ इस तरह भी लिखा जा सकता है: $$(x)_n = \frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}$$ यह कैलकुलेटर सीधे गुणनफल का उपयोग करता है, जो पूर्णांक n के लिए सटीक होता है, गामा फलन के ओवरफ़्लो से बचाता है, और जब भी कोई गुणनखंड शून्य होता है तो सही ढंग से 0 लौटाता है।

बढ़ता क्रमगुणित दो गामा फलन मानों के अनुपात के बराबर होता है।

हल किया गया उदाहरण

डिफ़ॉल्ट मान x = -10 और n = 6 के साथ: $$(-10)(-9)(-8)(-7)(-6)(-5)$$ चरण-दर-चरण गुणा करने पर मिलता है \(-10 \times -9 = 90\), \(90 \times -8 = -720\), \(-720 \times -7 = 5040\), \(5040 \times -6 = -30240\), और \(-30240 \times -5 = 151200\)। अतः $$(-10)_6 = 151200$$

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

\((x)_0\) का मान कितना होता है? रिक्त गुणनफल नियम के अनुसार हमेशा 1, चाहे x कुछ भी हो।

क्या x ऋणात्मक या भिन्न हो सकता है? हाँ। यह गुणनफल किसी भी वास्तविक x को संभाल लेता है; उदाहरण के लिए \((5)_3 = 5 \times 6 \times 7 = 210\), और एक गैर-धनात्मक पूर्णांक आधार से शून्य भी मिल सकता है।

बड़े मानों पर सटीकता क्यों घट सकती है? राइज़िंग फैक्टोरियल बहुत तेज़ी से बढ़ता है, इसलिए बहुत बड़े |x| या n मानक फ़्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित की सीमा को पार कर सकते हैं और राउंडिंग या ओवरफ़्लो दिखा सकते हैं।