Что такое символ Похгаммера?
Символ Похгаммера, который также называют возрастающим факториалом, записывается как \((x)_{n}\) и обозначает произведение n последовательно возрастающих множителей, начиная с x: $$(x)_{n} = x(x+1)(x+2)\dots(x+n-1).$$ Он обобщает обычный факториал, поскольку \((1)_{n} = n!\), и встречается во множестве задач комбинаторики, в гипергеометрических рядах и в теории специальных функций. Этот калькулятор вычисляет значение \((x)_{n}\) для любого вещественного основания \(x\) и любого целого неотрицательного числа множителей \(n\).
Как пользоваться калькулятором
Введите основание x (оно может быть отрицательным, дробным или нулём) и количество множителей n (целое число, равное 0 или больше). Нажмите «Вычислить», чтобы получить значение возрастающего факториала. По соглашению о пустом произведении \((x)_{0} = 1\) для любого \(x\), а \((x)_{1} = x\). Если \(x\) — целое неположительное число и один из множителей оказывается ровно равным нулю, всё произведение равно строго 0.
Разбор формулы
В произведении \(x\) умножается на \(x+1\), затем на \(x+2\) и так далее вплоть до \(x+n-1\) — всего \(n\) сомножителей. То же самое можно записать через гамма-функцию: $$(x)_{n} = \frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}.$$ Данный калькулятор использует прямое произведение: оно точное для целого \(n\), не приводит к переполнению гамма-функции и корректно возвращает 0 всякий раз, когда один из множителей обращается в ноль.
Разбор примера
При значениях по умолчанию \(x = -10\) и \(n = 6\) получаем: $$(-10)(-9)(-8)(-7)(-6)(-5).$$ Перемножая пошагово: \(-10 \times -9 = 90\), \(90 \times -8 = -720\), \(-720 \times -7 = 5040\), \(5040 \times -6 = -30240\) и, наконец, \(-30240 \times -5 = 151200\). Таким образом, $$(-10)_{6} = 151200.$$
Частые вопросы
Чему равно \((x)_{0}\)? Всегда 1 — по соглашению о пустом произведении, независимо от значения \(x\).
Может ли x быть отрицательным или дробным? Да. Произведение работает с любым вещественным \(x\); например, \((5)_{3} = 5 \times 6 \times 7 = 210\), а целое неположительное основание может дать в результате ноль.
Почему при больших значениях возможна потеря точности? Возрастающий факториал растёт чрезвычайно быстро, поэтому при очень больших \(|x|\) или \(n\) значение может выйти за пределы диапазона стандартной арифметики с плавающей точкой и привести к округлению или переполнению.
