¿Qué es el símbolo de Pochhammer?
El símbolo de Pochhammer, conocido también como factorial ascendente, se escribe \((x)_{n}\) y representa el producto de n factores consecutivos crecientes que arrancan en x: $$(x)_{n} = x(x+1)(x+2)\dots(x+n-1).$$ Generaliza el factorial habitual, ya que \((1)_{n} = n!\), y aparece por todas partes en combinatoria, en las series hipergeométricas y en la teoría de funciones especiales. Esta calculadora evalúa \((x)_{n}\) para cualquier base real x y cualquier número de factores n entero no negativo.
Cómo usar esta calculadora
Introduce el valor de la base x (puede ser negativo, fraccionario o cero) y el número de factores n (un entero igual o mayor que 0). Pulsa calcular para obtener el valor del factorial ascendente. Por convención del producto vacío, \((x)_{0} = 1\) para cualquier x, y \((x)_{1} = x\). Si x es un entero no positivo y uno de los factores cae exactamente en cero, el producto es exactamente 0.
La fórmula explicada
La forma de producto multiplica x por x+1, luego por x+2, y así sucesivamente hasta x+n-1: en total, n términos. De forma equivalente, puede expresarse con la función Gamma como $$(x)_{n} = \frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}.$$ Esta calculadora emplea el producto directo, que resulta exacto para n entero, evita el desbordamiento de la función Gamma y devuelve correctamente 0 siempre que algún factor se anule.
Ejemplo resuelto
Con los valores por defecto \(x = -10\) y \(n = 6\): \((-10)(-9)(-8)(-7)(-6)(-5)\). Multiplicando paso a paso obtenemos $$-10 \times -9 = 90,$$ $$90 \times -8 = -720,$$ $$-720 \times -7 = 5040,$$ $$5040 \times -6 = -30240$$ y $$-30240 \times -5 = 151200.$$ Por tanto, \((-10)_{6} = 151200\).
Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale \((x)_{0}\)? Siempre 1, por la convención del producto vacío, sea cual sea el valor de x.
¿Puede x ser negativo o una fracción? Sí. El producto admite cualquier x real; por ejemplo \((5)_{3} = 5 \times 6 \times 7 = 210\), y una base entera no positiva puede dar cero.
¿Por qué los valores grandes pueden perder precisión? El factorial ascendente crece a una velocidad enorme, así que un |x| o un n muy grandes pueden superar el rango de la aritmética estándar de coma flotante y mostrar redondeos o desbordamiento.
