ما هو رمز بوخهامر؟
رمز بوخهامر، المعروف أيضًا باسم المضروب الصاعد، يُكتب على الصورة \((x)_{n}\) ويمثّل حاصل ضرب n من العوامل المتتالية التصاعدية ابتداءً من x، أي: $$(x)_{n} = x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1).$$ وهو تعميم للمضروب العادي لأن \((1)_{n} = n!\)، ويظهر بكثرة في علم التوافيق والمتسلسلات فوق الهندسية ونظرية الدوال الخاصة. تتيح لك هذه الحاسبة إيجاد قيمة \((x)_{n}\) لأي أساس حقيقي \(x\) ولأي عدد صحيح غير سالب \(n\).
كيفية استخدام الحاسبة
أدخِل قيمة الأساس x (ويمكن أن تكون سالبة أو كسرية أو صفرًا)، ثم عدد العوامل n (عدد صحيح يساوي 0 أو أكبر). اضغط على زر الحساب لتحصل على قيمة المضروب الصاعد. وبحسب اصطلاح الجداء الفارغ فإن \((x)_{0} = 1\) مهما كانت قيمة \(x\)، كما أن \((x)_{1} = x\). وإذا كان \(x\) عددًا صحيحًا غير موجب وصادف أن أحد العوامل ساوى الصفر تمامًا، فإن حاصل الضرب يكون صفرًا بالضبط.
شرح الصيغة
تقوم الصورة الجدائية بضرب \(x\) في \(x+1\)، ثم في \(x+2\)، وهكذا حتى \(x+n-1\)، أي ما مجموعه \(n\) من الحدود. ويمكن كتابتها بدلالة دالة غاما على النحو: $$(x)_{n} = \frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}.$$ وتعتمد هذه الحاسبة على الجداء المباشر، وهو دقيق تمامًا عندما يكون \(n\) عددًا صحيحًا، ويتفادى تجاوز سعة دالة غاما، ويُعيد القيمة 0 بشكل صحيح كلما تلاشى أحد العوامل.
مثال محلول
باستخدام القيم الافتراضية \(x = -10\) و \(n = 6\) يكون: $$(-10)(-9)(-8)(-7)(-6)(-5).$$ وبالضرب خطوة بخطوة نحصل على: \(-10 \times -9 = 90\)، ثم \(90 \times -8 = -720\)، ثم \(-720 \times -7 = 5040\)، ثم \(5040 \times -6 = -30240\)، وأخيرًا \(-30240 \times -5 = 151200\). وعليه فإن \((-10)_{6} = 151200\).
الأسئلة الشائعة
ما قيمة \((x)_{0}\)؟ إنها دائمًا 1 بحسب اصطلاح الجداء الفارغ، أيًّا كانت قيمة \(x\).
هل يمكن أن يكون \(x\) سالبًا أو كسرًا؟ نعم. يتعامل الجداء مع أي قيمة حقيقية لـ \(x\)؛ فمثلًا \((5)_{3} = 5\times6\times7 = 210\)، كما يمكن أن يُنتج أساس عدد صحيح غير موجب قيمة صفر.
لماذا قد تفقد القيم الكبيرة دقتها؟ ينمو المضروب الصاعد بسرعة هائلة، لذا فإن القيم الكبيرة جدًا لـ \(|x|\) أو \(n\) قد تتجاوز نطاق حسابات الفاصلة العائمة القياسية فتظهر أخطاء تقريب أو تجاوز للسعة.
