ما هو عدد برنولي؟

أعداد برنولي $B_n$ هي متتالية من الأعداد النسبية (الكسور) تظهر في كثير من فروع نظرية الأعداد والتحليل الرياضي. تُعرَّف بأنها معاملات نشر ماكلورين للدالة المولِّدة $\frac{x}{e^x - 1}$. وتظهر هذه الأعداد في الصيغ المغلقة لمجاميع قوى الأعداد الصحيحة، وفي صيغة أويلر–ماكلورين، وفي قيم دالة زيتا لريمان عند الأعداد الصحيحة الزوجية، وفي متسلسلات تايلور لدالتي الظل (tan) وظل التمام (cot).

جدول لأوائل أعداد برنولي معروضة على صورة كسور دقيقة — أوائل أعداد برنولي على صورة كسور دقيقة، حيث القيم ذات الدليل الفردي (بعد B1) تساوي صفرًا.

كيفية استخدام الحاسبة

أدخل الدليل $n$ كعدد صحيح غير سالب (0، 1، 2، 3، ...) ثم اختر عدد الأرقام العشرية المعنوية التي ترغب في عرضها. تُرجع الحاسبة القيمة النسبية الدقيقة على هيئة كسر $p/q$ (مثل $B_{12} = -691/2730$) إلى جانب قيمة عشرية مقرَّبة. يؤثر إعداد الأرقام المعنوية في عرض القيمة العشرية فقط، أما الكسر فيظل دقيقاً دائماً.

الاصطلاح المستخدم

تعتمد هذه الأداة الاصطلاح $B_1 = -\frac{1}{2}$، وهو المقابل للدالة المولِّدة $\frac{x}{e^x - 1}$. أما الاصطلاح الآخر «الموجب» فيضع $B_1 = +\frac{1}{2}$ ويستخدم الدالة $\frac{x}{1 - e^{-x}}$، والفرق بينهما يقتصر على إشارة $B_1$ فقط. وتبقى جميع أعداد برنولي الأخرى متطابقة في الاصطلاحين، كما أن كل قيمة ذات دليل فردي بعد $B_1$ تساوي صفراً تماماً.

شرح الصيغة

لتجنُّب أخطاء التقريب الناتجة عن الفاصلة العائمة (مثلاً ظهور $B_2$ على هيئة 0.16666... بحيث يُختزَل $6 \cdot B_2$ إلى الصفر)، تستخدم هذه الحاسبة الحساب النسبي الدقيق. وهي تطبِّق العلاقة التراجعية:

$$B_n = -\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n+1}{k}\,B_k$$

حيث $B_0 = 1$ و $\binom{m+1}{k}$ هو المعامل الثنائي. ويُحتفظ بكل $B_k$ على هيئة بسط ومقام مختزَلين، فتكون النتيجة دقيقة رياضياً قبل تحويلها إلى قيمة عشرية.

الدالة المولِّدة لأعداد برنولي منشورة في متسلسلة قُوّية — الدالة المولِّدة $\frac{x}{e^x-1}$ التي تحدد معاملات متسلسلتها القُوّية أعداد برنولي $B_n$.

مثال محلول (n = 4)

انطلاقاً من $B_0 = 1$ و $B_1 = -\frac{1}{2}$ و $B_2 = \frac{1}{6}$ و $B_3 = 0$، تعطينا العلاقة التراجعية:

$$B_4 = -\frac{1}{30} \approx -0.0333333\ldots$$

ويمكنك التحقق من ذلك بمقارنته بالجدول المعروف: $B_6 = \frac{1}{42}$، $B_8 = -\frac{1}{30}$، $B_{10} = \frac{5}{66}$، $B_{12} = -\frac{691}{2730}$.

الأسئلة الشائعة

لماذا تساوي أعداد برنولي الفردية صفراً؟ باستثناء $B_1$، فإن كل عدد برنولي ذي دليل فردي $B_{2n+1}$ يساوي 0 بسبب تماثل في الدالة المولِّدة.

لماذا تكبر القيم ذات الدليل الزوجي إلى هذا الحد؟ ينمو مقدارها بسرعة كبيرة؛ فمثلاً $|B_{50}|$ يقارب $7.5 \times 10^{24}$. أما الكسور الدقيقة فتتعامل مع هذه القيم دون أي تجاوز للسعة.

هل B₁ موجب أم سالب هنا؟ سالب: تُرجع هذه الحاسبة القيمة $B_1 = -\frac{1}{2}$.

الدليل n	4
الكسر الدقيق	-1/30
Decimal (22 sig. digits)	-0.03333333333333333333333

حاسبة أعداد برنولي (Bₙ)

أدخل الحساب

صيغة رياضية

نتائج