什麼是伯努利數？
伯努利數 \(B_n\) 是一組有理數序列，廣泛出現在數論與分析學之中。其定義來自生成函數 \(\frac{x}{e^x - 1}\) 的馬克勞林級數展開係數。從整數冪次和的封閉公式、歐拉－馬克勞林公式，到黎曼 \(\zeta\) 函數在偶數點的取值，以及正切與餘切函數的泰勒級數，處處都能看見伯努利數的身影。
如何使用本計算機
輸入非負整數索引 \(n\)（0、1、2、3……），並選擇要顯示的有效位數。計算機會回傳精確的有理數值，以分數 \(p/q\) 的形式呈現（例如 \(B_{12} = -691/2730\)），同時附上四捨五入後的小數。有效位數設定僅影響小數的顯示，分數結果則永遠保持精確。
採用的慣例
本工具採用 \(B_1 = -\frac{1}{2}\) 的慣例，對應生成函數 \(\frac{x}{e^x - 1}\)。另一種「正號」慣例則設定 \(B_1 = +\frac{1}{2}\)，並使用 \(\frac{x}{1 - e^{-x}}\)；兩者僅在 \(B_1\) 的正負號上有所不同。除此之外，所有其他伯努利數在兩種慣例下完全相同，而 \(B_1\) 之後的每一個奇數索引值都恰好為零。
公式說明
為了避免浮點數的捨入誤差（例如 \(B_2\) 算出 \(0.16666\ldots\) 導致 \(6 \cdot B_2\) 被截斷為 0），本計算機採用精確的有理數運算。它運用遞迴關係 \(B_0 = 1\) 以及 $$B_m = -\frac{1}{m+1}\sum_{k=0}^{m-1}\binom{m+1}{k}\,B_k$$ 其中 \(\binom{m+1}{k}\) 為二項式係數。每一個 \(B_k\) 都以約分後的分子／分母配對形式保存，因此在轉換為小數之前，答案在數學上是完全精確的。
實例演算（n = 4）
從 \(B_0 = 1\)、\(B_1 = -\frac{1}{2}\)、\(B_2 = \frac{1}{6}\) 與 \(B_3 = 0\) 出發，遞迴關係可得出 $$B_4 = -\frac{1}{30} \approx -0.0333333\ldots$$ 你可以對照已知數表加以驗證：\(B_6 = \frac{1}{42}\)、\(B_8 = -\frac{1}{30}\)、\(B_{10} = \frac{5}{66}\)、\(B_{12} = -\frac{691}{2730}\)。
常見問題
為什麼奇數伯努利數都是零？除了 \(B_1\) 之外，每一個奇數索引的伯努利數 \(B_{2n+1}\) 都等於 0，這是由於生成函數本身的對稱性所致。
為什麼偶數索引較大時數值會暴增？其數量級增長極為快速，例如 \(|B_{50}|\) 約為 \(7.5 \times 10^{24}\)。精確分數能在不溢位的情況下處理這類龐大數值。
這裡的 \(B_1\) 是正是負？是負值：本計算機回傳 \(B_1 = -\frac{1}{2}\)。
