베르누이 수란 무엇인가요?

베르누이 수 $B_n$는 정수론과 해석학 전반에 걸쳐 등장하는 유리수 수열입니다. 이 수들은 생성함수 $\frac{x}{e^x - 1}$의 매클로린 급수 전개에서 나타나는 계수로 정의됩니다. 거듭제곱 정수합의 닫힌 형태 공식, 오일러-매클로린 공식, 짝수 정수에서의 리만 제타 함수 값, 그리고 탄젠트와 코탄젠트 함수의 테일러 급수 등에서 두루 모습을 드러냅니다.

처음 베르누이 수를 정확한 분수로 나타낸 표 — 처음 몇 개의 베르누이 수를 정확한 분수로 표시. 홀수 인덱스(B1 이후) 값은 0.

계산기 사용 방법

음이 아닌 정수 인덱스 $n$ (0, 1, 2, 3, ...)을 입력하고, 소수로 표시할 유효 자릿수를 선택하세요. 계산기는 정확한 유리수 값을 분수 $p/q$ 형태(예: $B_{12} = -\frac{691}{2730}$)로 제시하며, 여기에 반올림한 소수값을 함께 보여줍니다. 유효 자릿수 설정은 소수 표시에만 영향을 주며, 분수값은 언제나 정확하게 계산됩니다.

사용하는 규약

이 도구는 생성함수 $\frac{x}{e^x - 1}$에 대응하는 $B_1 = -\frac{1}{2}$ 규약을 사용합니다. 대안으로 쓰이는 "플러스" 규약은 $B_1 = +\frac{1}{2}$로 두고 $\frac{x}{1 - e^{-x}}$를 사용하는데, 두 규약은 오직 $B_1$의 부호에서만 차이가 납니다. 그 외 모든 베르누이 수는 두 규약에서 동일하며, $B_1$을 제외한 모든 홀수 인덱스 값은 정확히 0입니다.

공식 자세히 보기

부동소수점 반올림 오차(예를 들어 $B_2$가 0.16666...으로 계산되어 $6 \cdot B_2$가 0으로 잘려 버리는 현상)를 피하기 위해, 이 계산기는 정확한 유리수 연산을 사용합니다. 점화식 $B_0 = 1$과 $$B_m = -\frac{1}{m+1}\sum_{k=0}^{m-1}\binom{m+1}{k}\,B_k$$ 를 적용하는데, 여기서 $\binom{m+1}{k}$는 이항계수입니다. 각 $B_k$는 기약된 분자/분모 쌍으로 유지되므로, 소수로 변환하기 전 단계까지 수학적으로 정확한 답을 얻을 수 있습니다.

거듭제곱 급수로 전개한 베르누이 수의 생성 함수 — 거듭제곱 급수의 계수가 베르누이 수 Bₙ을 정의하는 생성 함수 x/(eˣ−1).

계산 예제 (n = 4)

$B_0 = 1$, $B_1 = -\frac{1}{2}$, $B_2 = \frac{1}{6}$, $B_3 = 0$에서 출발하면, 점화식을 통해 $$B_4 = -\frac{1}{30} \approx -0.0333333\ldots$$ 을 얻습니다. 이는 알려진 표와 비교하여 확인할 수 있습니다: $B_6 = \frac{1}{42}$, $B_8 = -\frac{1}{30}$, $B_{10} = \frac{5}{66}$, $B_{12} = -\frac{691}{2730}$.

자주 묻는 질문

홀수 베르누이 수는 왜 0인가요? $B_1$을 제외하면, 모든 홀수 인덱스 베르누이 수 $B_{2n+1}$은 생성함수의 대칭성 때문에 0이 됩니다.

짝수 인덱스 값은 왜 그렇게 커지나요? 그 크기는 급격히 증가합니다. 예를 들어 $|B_{50}|$은 약 $7.5 \times 10^{24}$에 달합니다. 정확한 분수 연산은 이러한 큰 값도 오버플로 없이 처리합니다.

여기서 $B_1$은 양수인가요, 음수인가요? 음수입니다. 이 계산기는 $B_1 = -\frac{1}{2}$를 반환합니다.

인덱스 n	4
정확한 분수	-1/30
Decimal (22 sig. digits)	-0.03333333333333333333333

베르누이 수 계산기 (Bₙ)

계산 입력

공식

결과