이중 계승이란?
어떤 수의 이중 계승은 x!! 로 표기하며, 1 또는 2까지 하나씩 건너뛰며 곱한 값입니다. 홀수의 경우 홀수들을 곱하고(예: \(5!! = 5\cdot3\cdot1 = 15\)), 짝수의 경우 짝수들을 곱합니다(\(6!! = 6\cdot4\cdot2 = 48\)). 관례상 \(0!! = 1\), \((-1)!! = 1\)로 정의합니다. 이 계산기는 감마 함수를 이용해 정의를 모든 실수 x로 확장하므로, \(0.5!!\) 같은 비정수 지점의 값도 구할 수 있습니다.
계산기 사용법
세 가지 값을 입력하세요. x의 초기값(수열의 첫 번째 지점), 증분(각 행마다 x에 더해지는 값), 그리고 반복 횟수(생성할 행의 개수)입니다. 그러면 i = 0, 1, …, count-1에 대해 $$x_i = \text{시작값} + i \cdot \text{증분}$$ 수열을 만들고, 각 x와 그에 대응하는 이중 계승을 나란히 표시합니다. 시작값 = 1, 증분 = 1로 설정하면 \(1!!\), \(2!!\), \(3!!\)… 의 고전적인 표를 얻을 수 있고, 소수 단위 증분을 쓰면 매끄러운 해석적 곡선을 살펴볼 수 있습니다.
공식 설명
정수의 경우 반올림 오차를 피하기 위해 정확한 곱셈 반복으로 계산합니다. 일반적인 실수 x에 대해서는 해석적 연속(analytic continuation) 공식 $$x!! = \left(\frac{2}{\pi}\right)^{\frac{1-\cos(\pi x)}{4}} 2^{\frac{x}{2}}\,\Gamma\!\left(\frac{x}{2}+1\right)$$ 을 적용합니다. 여기서 \(\Gamma\)는 감마 함수로, 란초스(Lanczos) 근사로 계산됩니다. x가 짝수 정수이면 \(\cos\pi x = 1\) 이 되어 \((2/\pi)\) 인자가 사라지고, x가 홀수이면 \(\cos\pi x = -1\) 이 되어 \((2/\pi)^{\frac12}\) 보정이 나타납니다. 두 경우 모두 정수 규칙과 정확히 일치합니다.
계산 예시
시작값 = 1, 증분 = 1, 횟수 = 8로 설정하면 각 행은 (1,1), (2,2), (3,3), (4,8), (5,15), (6,48), (7,105), (8,384) 가 됩니다. x = 5를 공식으로 확인해 보면: \(\cos 5\pi = -1\) 이므로 지수는 0.5, \((2/\pi)^{0.5} = 0.7979\), \(2^{2.5} = 5.6569\), \(\Gamma(3.5) = 3.32335\) 이고, \(0.7979\cdot5.6569\cdot3.32335 \approx 15\) 입니다.
자주 묻는 질문
x가 반드시 정수여야 하나요? 아닙니다. 감마 함수 연속을 통해 어떤 실수 x든 계산할 수 있습니다.
값이 비어 있거나 무한대로 나오는 이유는? 음의 짝수 정수(-2, -4, …)는 감마 함수의 극점에 해당해 정의되지 않으며, 계산기는 이를 NaN/무한대로 표시합니다.
값이 얼마나 커질 수 있나요? 이중 계승은 계승처럼 매우 빠르게 커져 x가 크면 배정밀도(double) 범위를 넘어설 수 있습니다. 아주 큰 값을 다룰 때는 반복 횟수를 적당히 유지하세요.
