什么是双阶乘？
一个数的双阶乘记作 x!!，表示从该数开始、每隔一个整数相乘，一直乘到 1 或 2 为止。如果 x 是奇数，就把所有奇数连乘（例如 \(5!! = 5\cdot 3\cdot 1 = 15\)）；如果 x 是偶数，就把所有偶数连乘（\(6!! = 6\cdot 4\cdot 2 = 48\)）。按惯例规定 \(0!! = 1\)，\((-1)!! = 1\)。本计算器借助伽马函数把定义推广到任意实数 x，因此像 \(0.5!!\) 这样的非整数点也能直接求值。
如何使用本计算器
只需填入三个数字：x 的初始值（序列的第一个点）、步长（每行在 x 上累加的量），以及重复次数（要生成多少行）。计算器会按 $$x_i = \text{初始值} + i\cdot\text{步长}, \quad i = 0, 1, \dots, \text{次数}-1$$ 构造序列，并把每个 x 和它的双阶乘并排列出。设初始值 = 1、步长 = 1，即可得到经典的 \(1!!\)、\(2!!\)、\(3!!\)… 数值表；改用小数步长，则能描绘出光滑的解析曲线。
公式详解
对于整数，我们采用精确的连乘循环，避免舍入误差。对于一般的实数 x，计算器使用解析延拓公式 $$x!! = \left(\frac{2}{\pi}\right)^{\frac{1-\cos(\pi x)}{4}} 2^{\frac{x}{2}}\,\Gamma\!\left(\frac{x}{2}+1\right)$$ 其中 \(\Gamma\) 为伽马函数（使用 Lanczos 近似计算）。当 x 为偶整数时 \(\cos\pi x = 1\)，\((2/\pi)\) 这一因子消失；当 x 为奇整数时 \(\cos\pi x = -1\)，得到 \((2/\pi)^{1/2}\) 的修正项。两种情形都与整数定义完全吻合。
实例演示
取初始值 = 1、步长 = 1、次数 = 8，得到的各行为 \((1,1)\)、\((2,2)\)、\((3,3)\)、\((4,8)\)、\((5,15)\)、\((6,48)\)、\((7,105)\)、\((8,384)\)。用公式验证 \(x = 5\)：\(\cos 5\pi = -1\)，所以指数为 \(0.5\)；\((2/\pi)^{0.5} = 0.7979\)，\(2^{2.5} = 5.6569\)，\(\Gamma(3.5) = 3.32335\)，于是 $$0.7979\cdot 5.6569\cdot 3.32335 \approx 15$$
常见问题
x 必须是整数吗？不必——通过伽马函数延拓，任意实数 x 都能计算。
为什么某个值显示为空或无穷大？负偶整数（-2、-4、…）正好落在伽马函数的极点上，没有定义，计算器会将其标记为 NaN 或无穷大。
双阶乘能算多大？双阶乘以阶乘量级飞速增长，x 较大时会超出双精度浮点的范围；处理很大的数值时，请把重复次数控制得小一些。
