Что такое двойной факториал?
Двойной факториал числа, который обозначают как x!!, — это произведение целых чисел, идущих через одно вплоть до 1 или 2. Для нечётного числа перемножаются нечётные множители (например, \(5!! = 5\cdot 3\cdot 1 = 15\)), а для чётного — чётные (\(6!! = 6\cdot 4\cdot 2 = 48\)). По соглашению принимают \(0!! = 1\) и \((-1)!! = 1\). Наш калькулятор расширяет это определение на любое вещественное значение x с помощью гамма-функции, поэтому вы можете вычислить и нецелые точки — например, 0,5!!.
Как пользоваться калькулятором
Введите три числа: начальное значение x (первая точка последовательности), шаг (прибавляется к x в каждой строке) и число повторений (сколько строк построить). Инструмент формирует последовательность $$x_i = \text{начало} + i\cdot\text{шаг}, \quad i = 0, 1, \dots, \text{count}-1$$ и выводит каждое x рядом с его двойным факториалом. Возьмите начало = 1 и шаг = 1, чтобы получить классическую таблицу 1!!, 2!!, 3!!…, или задайте дробный шаг, чтобы исследовать гладкую аналитическую кривую.
Разбор формулы
Для целых чисел мы используем точный перебор множителей, чтобы избежать ошибок округления. Для произвольного вещественного x применяется аналитическое продолжение $$x!! = \left(\frac{2}{\pi}\right)^{\frac{1-\cos(\pi x)}{4}} 2^{\frac{x}{2}}\,\Gamma\!\left(\frac{x}{2}+1\right)$$ где \(\Gamma\) — гамма-функция (вычисляется по приближению Ланцоша). Если x — чётное целое, то \(\cos\pi x = 1\), и множитель \((2/\pi)\) обращается в единицу; если x нечётное, то \(\cos\pi x = -1\), что даёт поправку \((2/\pi)^{1/2}\). Обе ветви согласуются с правилом для целых чисел.
Разобранный пример
При начале = 1, шаге = 1 и count = 8 получаются строки (1,1), (2,2), (3,3), (4,8), (5,15), (6,48), (7,105), (8,384). Проверим x = 5 по формуле: \(\cos 5\pi = -1\), поэтому показатель равен 0,5; \((2/\pi)^{0{,}5} = 0{,}7979\), \(2^{2{,}5} = 5{,}6569\), \(\Gamma(3{,}5) = 3{,}32335\), и $$0{,}7979\cdot 5{,}6569\cdot 3{,}32335 \approx 15$$
Частые вопросы
Должно ли x быть целым числом? Нет — благодаря продолжению через гамма-функцию подходит любое вещественное x.
Почему значение пустое или бесконечное? Отрицательные чётные целые числа (-2, -4, …) попадают на полюсы гамма-функции и не определены; инструмент выводит для них NaN или бесконечность.
Насколько большим может быть результат? Двойные факториалы растут факториально быстро и при больших x могут выйти за пределы двойной точности; для очень больших значений берите небольшое число строк.
