Çift faktöriyel nedir?
Bir sayının çift faktöriyeli, x!! şeklinde yazılır ve birer atlayarak 1'e ya da 2'ye kadar inen tüm tam sayıların çarpımıdır. Tek bir sayı için tek tam sayıları çarpar (örneğin \(5!! = 5\cdot 3\cdot 1 = 15\)), çift bir sayı için ise çift tam sayıları çarpar (\(6!! = 6\cdot 4\cdot 2 = 48\)). Tanım gereği \(0!! = 1\) ve \((-1)!! = 1\)'dir. Bu hesaplayıcı, gama fonksiyonunu kullanarak tanımı x'in herhangi bir reel değerine genişletir; böylece \(0.5!!\) gibi tam sayı olmayan noktaları da değerlendirebilirsiniz.
Bu hesaplayıcı nasıl kullanılır?
Üç sayı girin: x'in başlangıç değeri (dizinin ilk noktası), artış miktarı (her satırda x'e eklenen değer) ve tekrar sayısı (oluşturulacak satır adedi). Araç, \(i = 0, 1, \dots, \text{sayım}-1\) için $$x_i = \text{başlangıç} + i\cdot\text{adım}$$ dizisini kurar ve her x değerini çift faktöriyeliyle birlikte listeler. Klasik \(1!!, 2!!, 3!!\dots\) tablosunu elde etmek için başlangıç = 1, adım = 1 kullanın; düzgün analitik eğriyi incelemek içinse kesirli bir adım deneyin.
Formülün açıklaması
Tam sayılar için, yuvarlama hatasını önlemek amacıyla doğrudan çarpım döngüsü kullanırız. Genel reel x değerleri içinse araç şu analitik sürdürmeyi uygular: $$x!! = \left(\frac{2}{\pi}\right)^{\frac{1-\cos(\pi x)}{4}} 2^{\frac{x}{2}}\,\Gamma\!\left(\frac{x}{2}+1\right)$$ burada \(\Gamma\) gama fonksiyonudur (Lanczos yaklaşımıyla hesaplanır). x çift bir tam sayı olduğunda \(\cos\pi x = 1\) olur, dolayısıyla \((2/\pi)\) çarpanı yok olur; x tek olduğunda ise \(\cos\pi x = -1\) olur ve \((2/\pi)^{\frac12}\) düzeltmesi ortaya çıkar. Her iki dal da tam sayı kuralıyla uyumludur.
Çözümlü örnek
Başlangıç = 1, adım = 1, sayım = 8 değerleriyle satırlar şöyle olur: (1,1), (2,2), (3,3), (4,8), (5,15), (6,48), (7,105), (8,384). \(x = 5\) değerini formülle doğrulayalım: \(\cos 5\pi = -1\) olduğundan üs 0.5'tir; \((2/\pi)^{0.5} = 0.7979\), \(2^{2.5} = 5.6569\), \(\Gamma(3.5) = 3.32335\) ve $$0.7979\cdot 5.6569\cdot 3.32335 \approx 15.$$
Sıkça Sorulan Sorular
x'in tam sayı olması şart mı? Hayır — gama fonksiyonu sürdürmesi sayesinde herhangi bir reel x değeri çalışır.
Neden bir değer boş ya da sonsuz görünüyor? Negatif çift tam sayılar (-2, -4, …) gama fonksiyonunun kutuplarına denk gelir ve tanımsızdır; araç bunları NaN/sonsuz olarak gösterir.
Değerler ne kadar büyüyebilir? Çift faktöriyeller faktöriyel hızında büyür ve büyük x değerleri için çift duyarlıklı (double) aralığı taşırabilir; çok büyük değerlerde tekrar sayısını düşük tutun.
