Pochhammer sembolü nedir?
Pochhammer sembolü \((x)_n\), diğer adıyla yükselen faktöriyel (\(x^{(n)}\) ya da üzeri çizgili n şeklinde de yazılır), x'ten başlayarak ardışık n sayının çarpımıdır. Kombinatorikte, özel fonksiyonlarda ve hipergeometrik seriler teorisinde temel bir rol oynar. Bu hesaplayıcı yükselen (rising) gösterimi kullanır; alçalan faktöriyel (falling factorial) ile karıştırılmamalıdır.
Formül
Tam sayı \(n \ge 1\) için $$(x)_n = x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)$$ olup, bu n terimli bir çarpımdır. Boş çarpım kuralı gereği \((x)_0 = 1\) ve \((x)_1 = x\)'tir. Eşdeğer biçimde $$(x)_n = \frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}$$ yazılır. \(x = 1\) olduğunda yükselen faktöriyel sıradan faktöriyele indirgenir: \((1)_n = n!\).
Tablo hesaplayıcısı nasıl kullanılır?
Sabit x tabanını, n'nin ilk değerini, n'nin satırdan satıra büyüdüğü adımı (artış miktarını) ve kaç satır istediğinizi girin. Araç, \(k = 0, 1, \dots, \text{satırSayısı}-1\) için \(n = \text{ilkN} + k\cdot\text{adımN}\) değerlerini hesaplar ve her n'yi karşılık gelen yükselen faktöriyel değeriyle birlikte listeler. Negatif bir adım, azalan bir n dizisi üretir; negatif n değerleri ise resiprokal (ters) genişletme yoluyla işlenir.
Örnek hesaplama
\(x = 5\), başlangıç \(n = 1\), adım 1 ve 8 satır ile şu değerleri elde edersiniz: \((5)_1 = 5\), \((5)_2 = 30\), \((5)_3 = 210\), \((5)_4 = 1680\), \((5)_5 = 15120\), \((5)_6 = 151200\), \((5)_7 = 1663200\) ve \((5)_8 = 19958400\). Değerler faktöriyel hızıyla büyüdüğü için grafik çok dik bir şekilde yükselir.
Sıkça Sorulan Sorular
\((x)_0\) neden her zaman 1'dir? Çünkü bu bir boş çarpımdır ve x ne olursa olsun tanım gereği 1'e eşittir.
x pozitif olmayan bir tam sayı olursa ne olur? Çarpım basitçe sıfırdan geçer. Örneğin \((-3)_5 = (-3)(-2)(-1)(0)(1) = 0\) olur — bu bir hata değil, doğru sonuçtur.
Değerler taşma (overflow) yapabilir mi? Evet. Yükselen faktöriyeller son derece hızlı büyür; bu nedenle büyük n değerlerinde çift duyarlıklı (double-precision) sonuç çok büyük ya da sonsuz olabilir. Kesin değerler için n'yi makul aralıkta tutun.
