Bessel Y Fonksiyonu Tablo Hesaplayıcı nedir?

Bu araç, Weber ya da Neumann fonksiyonu olarak da bilinen ve $Y_{v}(x)$ ile gösterilen ikinci tür Bessel fonksiyonunu tablo hâline getirir. Bu fonksiyon, Bessel diferansiyel denkleminin ikinci doğrusal bağımsız çözümüdür. Belirli bir reel $v$ mertebesi için hesaplayıcı, başlangıç değeri, artış miktarı ve nokta sayısıyla tanımlanan bir $x$ dizisi boyunca $Y_{v}(x)$ değerini hesaplar ve eksiksiz bir sayısal tablo üretir.

x'e karşı çizilmiş ikinci tür Bessel fonksiyonları Y0, Y1, Y2 eğrileri — 0, 1 ve 2 mertebeleri için ikinci tür Bessel fonksiyonları $Y_v(x)$; $x = 0$ yakınındaki tekilliği ve salınımlı sönümlenmeyi gösterir.

Nasıl kullanılır?

$v$ mertebesini (tam sayı olmayan veya negatif olabilir), $x$'in başlangıç değerini, noktalar arasındaki artışı (adım) ve iterasyon sayısını (satır sayısı) girin. Hesaplayıcı, $i = 0$'dan pointCount-1'e kadar $x_i = \text{startX} + i \cdot \text{stepX}$ değerlerini oluşturur ve her biri için $Y_{v}(x)$ değerini listeler. $Y_{v}(x)$ fonksiyonunun $x = 0$ noktasında eksi sonsuza ıraksadığını ve yalnızca $x > 0$ için reel olduğunu unutmayın; bu nedenle $x \le 0$ olan her satır tanımsız olarak işaretlenir.

Formül

Tam sayı olmayan mertebe için:

$$Y_{\nu}(x) = \frac{J_{\nu}(x)\cos(\nu\pi) - J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu\pi)}$$

Tam sayı mertebe $n$ için ise limit, $J_{n}(x)\cdot\ln(x/2)$ içeren logaritmik bir terim, sonlu bir kuvvet serisi düzeltmesi ve bir digamma serisinden oluşan kapalı bir form verir. Birinci tür fonksiyon $J_{v}(x)$ kendi kuvvet serisi üzerinden toplanır; Gama fonksiyonu ise Lanczos yaklaşımıyla hesaplanır.

Çözümlü örnek

$v = 0$, $\text{startX} = 0$, $\text{stepX} = 0{,}2$ ve $\text{pointCount} = 51$ değerleriyle satırlar $x = 0{,}0$'dan $10{,}0$'a kadar uzanır. $Y_{0}(0)$ tanımsızdır ($-\infty$), $Y_{0}(0{,}2) \approx -1{,}0811$, $Y_{0}(1{,}0) \approx 0{,}0883$, $Y_{0}(2{,}0) \approx 0{,}5104$ ve $Y_{0}(10{,}0) \approx 0{,}0557$ olur. Üstteki "ilk sonlu değer" bilgisi $-1{,}0811$ değerini gösterir.

Tanımlar & Sözlük

Sıra $\nu$: Bessel fonksiyonları ailesini indeksleyen parametre (order alanı). Herhangi bir gerçek sayı olabilir. Tam sayı sıraları (0, 1, 2, …) silindirik simetriye sahip fiziksel problemlerde en yaygındır; yarım tam sayı sıraları küresel Bessel fonksiyonlarını verir.
İkinci türden Bessel fonksiyonu $Y_\nu(x)$: Ayrıca Weber veya Neumann fonksiyonu olarak adlandırılır (bazen $N_\nu$ olarak yazılır). Bessel denkleminin orijinde sınırsız (tekillik) olan bir çözümüdür. Tam olmayan $\nu$ için $Y_\nu(x) = \dfrac{J_\nu(x)\cos(\nu\pi) - J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu\pi)}$ ile tanımlanır, tam sayı durumu bir limit olarak elde edilir.
$J_\nu$ ile karşı $Y_\nu$: $J_\nu(x)$ (birinci türden) $x=0$ da sonludur; $Y_\nu(x)$ (ikinci türden) $x\to 0^+$ olurken $-\infty$ ye ıraksar. Birlikte Bessel denkleminin tam bir bağımsız çözüm çiftini oluştururlar.
Bessel diferansiyel denklemi: Doğrusal ODE $x^2 y'' + x y' + (x^2 - \nu^2) y = 0$. Genel çözümü $y = c_1 J_\nu(x) + c_2 Y_\nu(x)$ dir.
Gamma fonksiyonu $\Gamma(z)$: Faktöryelin sürekli genişletmesi, $\Gamma(n+1) = n!$, $J_\nu$ ve $Y_\nu$ nin seri katsayılarında görülür.
Digamma fonksiyonu $\psi(z)$: Logaritmik türev $\psi(z) = \Gamma'(z)/\Gamma(z)$. Tam sayı-sıralı $Y_n(x)$ serisi için açık olarak görülür; bu bir logaritmik terim $\tfrac{2}{\pi}\ln(x/2)J_n(x)$ artı digamma ağırlıklı katsayıları içerir.
Lanczos yaklaştırması: Karmaşık veya gerçek argüman için gamma fonksiyonu $\Gamma(z)$ yi değerlendirmek için çok doğru bir sayısal yöntem; Bessel-fonksiyon rutinlerinde seri katsayılarını hesaplamak için yaygın olarak kullanılır.
Doğrusal olarak bağımsız çözüm: Birincinin bir sabit katı olarak ifade edilemeyen ikinci bir çözüm. $J_\nu$ tek başına orijinde tekillik olan çözümleri temsil edemediğinden, $Y_\nu$ genel çözüm için gereken bağımsız arkadaş sağlar.

Sıkça sorulan sorular

İlk satır neden tanımsız? $Y_{v}(x)$ fonksiyonunun $x = 0$ noktasında bir tekilliği vardır ve $-\infty$'a ıraksar; bu nedenle orada sonlu bir değeri yoktur.

Mertebe negatif olabilir mi? Evet. Negatif tam sayı mertebe için $Y_{-n}(x) = (-1)^{n}Y_{n}(x)$ simetrisi geçerlidir; negatif ve tam sayı olmayan mertebe içinse genel formül doğrudan kullanılır.

Ne kadar doğru? Seriler, terimler makine toleransının altına düşene kadar toplanır; bu da orta büyüklükteki $x$ değerleri için yaklaşık 6-7 anlamlı basamaklık bir doğruluk sağlar.

x	Y_v(x)
0.0000	-Infinity
0.2000	-1.0811053
0.4000	-0.6060246
0.6000	-0.3085099
0.8000	-0.0868023
1.0000	0.0882570
1.2000	0.2280835
1.4000	0.3378951
1.6000	0.4204269
1.8000	0.4774317
2.0000	0.5103757
2.2000	0.5207843
2.4000	0.5104147
2.6000	0.4813306
2.8000	0.4359160
3.0000	0.3768500
3.2000	0.3070533
3.4000	0.2296153
3.6000	0.1477100
3.8000	0.0645032
4.0000	-0.0169407
4.2000	-0.0937512
4.4000	-0.1633365
4.6000	-0.2234600
4.8000	-0.2723038
5.0000	-0.3085176
5.2000	-0.3312509
5.4000	-0.3401679
5.6000	-0.3354442
5.8000	-0.3177464
6.0000	-0.2881947
6.2000	-0.2483100
6.4000	-0.1999486
6.6000	-0.1452262
6.8000	-0.0864339
7.0000	-0.0259497
7.2000	0.0338504
7.4000	0.0906809
7.6000	0.1424285
7.8000	0.1872272
8.0000	0.2235215
8.2000	0.2501180
8.4000	0.2662219
8.6000	0.2714577
8.8000	0.2658749
9.0000	0.2499367
9.2000	0.2244937
9.4000	0.1907439
9.6000	0.1501801
9.8000	0.1045271
10.0000	0.0556712

Bessel Y Fonksiyonu Tablo Hesaplayıcı

Hesaplamaya Girin

Formül

Sonuç