Qu'est-ce que le calculateur de table de la fonction de Bessel Y ?
Cet outil tabule la fonction de Bessel de seconde espèce, également appelée fonction de Weber ou de Neumann et notée \(Y_{\nu}(x)\). Il s'agit de la seconde solution linéairement indépendante de l'équation différentielle de Bessel. Pour un ordre réel \(\nu\) fixé, le calculateur évalue \(Y_{\nu}(x)\) sur une suite de valeurs de \(x\) définie par une valeur de départ, un incrément et un nombre de points, afin de produire une table numérique complète.
Comment l'utiliser
Saisissez l'ordre \(\nu\) (qui peut être non entier ou négatif), la valeur initiale de \(x\), l'incrément (le pas) entre les points, ainsi que le nombre d'itérations (de lignes). Le calculateur construit \(x_i = \text{startX} + i \cdot \text{stepX}\) pour \(i\) allant de 0 à \(\text{pointCount} - 1\), puis affiche \(Y_{\nu}(x)\) pour chacune. À noter : \(Y_{\nu}(x)\) diverge vers moins l'infini en \(x = 0\) et n'est réelle que pour \(x > 0\) ; toute ligne où \(x \le 0\) est donc signalée comme non définie.
La formule
Pour un ordre non entier :
$$Y_{\nu}(x) = \frac{J_{\nu}(x)\cos(\nu\pi) - J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu\pi)}$$Pour un ordre entier \(n\), le passage à la limite donne une forme close comportant un terme logarithmique en \(J_{n}(x)\cdot\ln(x/2)\), une correction par série entière finie et une série faisant intervenir la fonction digamma. La fonction de première espèce \(J_{\nu}(x)\) est calculée par sommation de sa série entière, la fonction Gamma étant évaluée par une approximation de Lanczos.
Exemple détaillé
Avec \(\nu = 0\), \(\text{startX} = 0\), \(\text{stepX} = 0{,}2\) et \(\text{pointCount} = 51\), les lignes couvrent \(x = 0{,}0\) à \(10{,}0\). \(Y_{0}(0)\) est non définie \((-\infty)\), \(Y_{0}(0{,}2) \approx -1{,}0811\), \(Y_{0}(1{,}0) \approx 0{,}0883\), \(Y_{0}(2{,}0) \approx 0{,}5104\) et \(Y_{0}(10{,}0) \approx 0{,}0557\). Le résultat mis en avant, la « première valeur finie », indique \(-1{,}0811\).
Définitions & Glossaire
- Ordre \(\nu\)
-
Le paramètre (le champ
order) qui indexe la famille des fonctions de Bessel. Il peut être n'importe quel nombre réel. Les ordres entiers (0, 1, 2, …) sont les plus courants dans les problèmes physiques ayant une symétrie cylindrique ; les ordres demi-entiers donnent les fonctions de Bessel sphériques. - Fonction de Bessel de deuxième espèce \(Y_\nu(x)\)
- Également appelée fonction de Weber ou fonction de Neumann (parfois écrite \(N_\nu\)). C'est une solution de l'équation de Bessel qui est non bornée (singulière) à l'origine. Définie pour \(\nu\) non entier par \(Y_\nu(x) = \dfrac{J_\nu(x)\cos(\nu\pi) - J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu\pi)}\), le cas entier étant obtenu comme limite.
- \(J_\nu\) par rapport à \(Y_\nu\)
- \(J_\nu(x)\) (première espèce) est finie en \(x=0\) ; \(Y_\nu(x)\) (deuxième espèce) diverge vers \(-\infty\) quand \(x\to 0^+\). Ensemble, elles forment une paire complète de solutions indépendantes de l'équation de Bessel.
- Équation différentielle de Bessel
- L'équation différentielle ordinaire linéaire \(x^2 y'' + x y' + (x^2 - \nu^2) y = 0\). Sa solution générale est \(y = c_1 J_\nu(x) + c_2 Y_\nu(x)\).
- Fonction gamma \(\Gamma(z)\)
- L'extension continue de la factorielle, \(\Gamma(n+1) = n!\), apparaissant dans les coefficients de la série pour \(J_\nu\) et \(Y_\nu\).
- Fonction digamma \(\psi(z)\)
- La dérivée logarithmique \(\psi(z) = \Gamma'(z)/\Gamma(z)\). Elle apparaît explicitement dans la série pour \(Y_n(x)\) d'ordre entier, qui contient un terme logarithmique \(\tfrac{2}{\pi}\ln(x/2)J_n(x)\) plus des coefficients pondérés par la fonction digamma.
- Approximation de Lanczos
- Une méthode numérique très précise pour évaluer la fonction gamma \(\Gamma(z)\) pour un argument complexe ou réel, couramment utilisée dans les routines de calcul des fonctions de Bessel pour calculer les coefficients de la série.
- Solution linéairement indépendante
- Une deuxième solution ne pouvant pas être exprimée comme un multiple constant de la première. Puisque \(J_\nu\) seule ne peut pas représenter les solutions qui sont singulières à l'origine, \(Y_\nu\) fournit le compagnon indépendant nécessaire pour la solution générale.
FAQ
Pourquoi la première ligne est-elle non définie ? \(Y_{\nu}(x)\) présente une singularité en \(x = 0\) où elle diverge vers \(-\infty\) ; elle n'y prend donc aucune valeur finie.
L'ordre peut-il être négatif ? Oui. Pour un ordre entier négatif, la symétrie \(Y_{-n}(x) = (-1)^{n}Y_{n}(x)\) s'applique ; pour un ordre non entier négatif, la formule générale est utilisée directement.
Quelle est sa précision ? Les séries sont sommées jusqu'à ce que les termes passent sous la tolérance machine, offrant environ 6 à 7 chiffres significatifs pour des valeurs de \(x\) modérées.
