第２種ベッセル関数 Y の数表計算とは
このツールは、第二種ベッセル関数（ウェーバー関数、またはノイマン関数とも呼ばれます）\(Y_{v}(x)\) を数表として計算します。これはベッセルの微分方程式における、もう一つの一次独立な解です。実数の次数 \(v\) を固定したとき、開始値・増分・点数で定義された一連の \(x\) の値に対して \(Y_{v}(x)\) を評価し、完全な数値の表を出力します。
使い方
次数 \(v\)（整数でなくても、また負の値でも構いません）、\(x\) の初期値、各点間の増分（刻み幅）、繰り返し回数（行数）を入力します。本計算では \(x_{i} = \text{startX} + i \cdot \text{stepX}\)（\(i = 0\) から \(\text{pointCount}-1\) まで）を生成し、それぞれに対する \(Y_{v}(x)\) を一覧表示します。なお \(Y_{v}(x)\) は \(x = 0\) で負の無限大に発散し、実数値をとるのは \(x > 0\) のときに限られるため、\(x \le 0\) となる行は「定義なし」と表示されます。
計算式
非整数次の場合：
$$Y_{v}(x) = \frac{J_{v}(x)\cos(v\pi) - J_{-v}(x)}{\sin(v\pi)}$$整数次 \(n\) の場合は、その極限により、\(J_{n}(x)\cdot\ln(x/2)\) を含む対数項、有限の冪級数による補正項、ディガンマ関数の級数項からなる閉じた形が得られます。第一種ベッセル関数 \(J_{v}(x)\) はその冪級数から和を計算し、ガンマ関数はランチョス近似によって評価しています。
計算例
\(v = 0\)、\(\text{startX} = 0\)、\(\text{stepX} = 0.2\)、\(\text{pointCount} = 51\) とすると、各行は \(x = 0.0\) から \(10.0\) までとなります。\(Y_{0}(0)\) は定義なし（\(-\infty\)）、\(Y_{0}(0.2) \approx -1.0811\)、\(Y_{0}(1.0) \approx 0.0883\)、\(Y_{0}(2.0) \approx 0.5104\)、\(Y_{0}(10.0) \approx 0.0557\) となります。先頭に表示される「最初の有限値」は \(-1.0811\) です。
定義と用語集
- 位数 \(\nu\)
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ベッセル関数の族にインデックスを付けるパラメータ（
orderフィールド）。任意の実数にすることができます。整数位数（0、1、2、…）は円柱対称性を持つ物理問題で最も一般的です。半整数位数は球形ベッセル関数を与えます。 - 第2種ベッセル関数 \(Y_\nu(x)\)
- ウェーバー関数またはノイマン関数とも呼ばれます（\(N_\nu\)と表記されることもあります）。ベッセル方程式の解であり、原点で非有界（特異）です。非整数 \(\nu\) に対して \(Y_\nu(x) = \dfrac{J_\nu(x)\cos(\nu\pi) - J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu\pi)}\) で定義され、整数の場合は極限として得られます。
- \(J_\nu\)対 \(Y_\nu\)
- \(J_\nu(x)\)（第1種）は \(x=0\) で有限です。\(Y_\nu(x)\)（第2種）は \(x\to 0^+\) のとき \(-\infty\) に発散します。これら2つはベッセル方程式の完全な独立解のペアを形成します。
- ベッセルの微分方程式
- 線形ODE \(x^2 y'' + x y' + (x^2 - \nu^2) y = 0\)。その一般解は \(y = c_1 J_\nu(x) + c_2 Y_\nu(x)\) です。
- ガンマ関数 \(\Gamma(z)\)
- 階乗の連続拡張で、\(\Gamma(n+1) = n!\) であり、\(J_\nu\) と \(Y_\nu\) の級数係数に現れます。
- ディガンマ関数 \(\psi(z)\)
- 対数導関数 \(\psi(z) = \Gamma'(z)/\Gamma(z)\)。これは整数位数 \(Y_n(x)\) の級数に明示的に現れ、対数項 \(\tfrac{2}{\pi}\ln(x/2)J_n(x)\) とディガンマ加重係数を含みます。
- ランチョス近似
- 複素数または実数の引数に対するガンマ関数 \(\Gamma(z)\) を評価するための非常に高精度な数値的方法で、ベッセル関数ルーチンの内部で級数係数を計算するために一般的に使用されます。
- 線形独立解
- 第1解の定数倍として表現できない第2の解。\(J_\nu\) だけは原点で特異な解を表すことができないため、\(Y_\nu\) は一般解に必要な独立した相手を提供します。
よくある質問
最初の行が「定義なし」になるのはなぜですか？ \(Y_{v}(x)\) は \(x = 0\) に特異点を持ち \(-\infty\) に発散するため、その点では有限の値をとりません。
次数を負にできますか？ はい。負の整数次の場合は対称性 \(Y_{-n}(x) = (-1)^{n}Y_{n}(x)\) が成り立ちます。負の非整数次の場合は一般式をそのまま用います。
精度はどの程度ですか？ 級数は各項が計算機の許容誤差を下回るまで加算されるため、\(x\) が中程度の範囲ではおよそ 6〜7 桁の有効数字が得られます。
