誤差関数とは？
誤差関数（erf(x)と表記）は、確率論や統計学をはじめ、拡散現象や熱伝導の理論など幅広い分野に登場する特殊関数です。ガウス分布（釣鐘型の曲線）を0からxまで積分した値を2倍し、\(\operatorname{erf}(\infty) = 1\)となるように正規化したものとして定義されます。これと密接に関係するのが相補誤差関数 \(\operatorname{erfc}(x) = 1 - \operatorname{erf}(x)\) で、こちらは分布の裾（テール）の面積を表します。
この計算ツールの使い方
任意の実数xを入力すると、erf(x)とerfc(x)の両方が表示されます。erfは奇関数（\(\operatorname{erf}(-x) = -\operatorname{erf}(x)\)）なので、正の値も負の値もそのまま計算できます。結果は無次元の値で、必ず−1から1の範囲に収まります。
計算式の解説
誤差関数には初等関数による閉じた形の表現が存在しないため、数値的に求める必要があります。本ツールでは、定番として知られるアブラモウィッツ＆ステグンの有理多項式近似式7.1.26を採用しています。まず \(\tau = 1/(1 + px)\) と置き、ここで \(p = 0.3275911\)、係数は \(a_1 = 0.254829592\)、\(a_2 = -0.284496736\)、\(a_3 = 1.421413741\)、\(a_4 = -1.453152027\)、\(a_5 = 1.061405429\) です。これを用いて $$\operatorname{erf}(x) \approx 1 - (a_1\tau + a_2\tau^2 + a_3\tau^3 + a_4\tau^4 + a_5\tau^5)\cdot e^{-x^2}$$ と計算します。この近似の最大絶対誤差はおよそ \(1.5 \times 10^{-7}\) で、ほとんどの工学的用途には十分な精度です。
計算例
x = 1 の場合：$$\tau = \frac{1}{1 + 0.3275911} \approx 0.753139$$ となります。この値で多項式を計算し、\(e^{-1}\) を掛けると \(\operatorname{erf}(1) \approx 0.842701\) が得られ、真の値 \(0.8427008\) とよく一致します。相補誤差関数の値は \(\operatorname{erfc}(1) \approx 0.157299\) です。
よくある質問（FAQ）
erf(x)の取りうる範囲は？ \(x \to -\infty\) で −1、\(x \to +\infty\) で +1 の範囲をとり、x = 0 のとき 0 を通ります。
結果の精度はどれくらい？ この近似はおよそ小数点以下7桁まで正確です（誤差 < 1.5e-7）。
erfcは何に使われる？ 相補誤差関数は、裾確率の計算、通信におけるビット誤り率（BER）、拡散方程式の解などでよく用いられます。
