誤差関数の逆関数・相補誤差関数の逆関数 計算ツール

計算を入力してください

y（無次元） erf⁻¹ needs -1 < y < 1; erfc⁻¹ needs 0 < y < 2

表示桁数 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

公式

Show calculation steps (1)

1. Inverse Complementary Error Function

   

   Uses the identity erfc^-1(y) = erf^-1(1 - y); returns x such that erfc(x) = y.

結果

Inverse Error Function erf^-1(y)

0.2724628197

erf(x) = y を満たす値 x

erfc-1(y) = erf-1(1 - y)	0.7328691494
y を入力	0.3

誤差関数の逆関数計算ツールとは

このツールは、無次元の引数 y に対して誤差関数の逆関数 erf^-1(y) と相補誤差関数の逆関数 erfc^-1(y) を求めます。誤差関数 erf(x) = (2/√π) ∫₀^x e^-t² dt は、確率・拡散・信号処理など幅広い分野で登場します。その逆関数は「ある値 y が与えられたとき、erf(x) = y を満たす x は何か」という逆向きの問いに答えるものです。

使い方

値 y を入力し、表示したい桁数を選びます。有効な定義域は、erf^-1 では -1 < y < 1、erfc^-1 では 0 < y < 2 です。erfc(x) = 1 - erf(x) という関係から、二つの結果は erfc^-1(y) = erf^-1(1 - y) という恒等式で結ばれています。定義域の端では結果が ±∞ に発散します（例えば erf^-1(1) = +∞）。

計算式の解説

erf^-1 には初等関数による閉じた形は存在しません。そこでまず Giles（2010）の有理関数近似（精度はおよそ 1e-7）を初期値とし、ニュートン法で精度を高めます。漸化式は x_n+1 = x_n - (erf(x_n) - y) / ((2/√π) e^-x_n²) で、erf の導関数は (2/√π) e^-x² です。残差 |erf(x_n) - y| が 1e-15 を下回るまで反復することで、倍精度いっぱいの精度が得られます。

広告

erf^-1 は (-1,1) で定義され、erfc^-1 は (0,2) で定義され erf^-1(1-y) に等しい。

逆誤差関数は、erf が与えられた y に等しくなる x を求めます。

計算例

y = 0.3 の場合：erf(0.2724627) ≈ 0.3 なので erf^-1(0.3) ≈ 0.2724627 となります。次に erfc^-1(0.3) = erf^-1(1 - 0.3) = erf^-1(0.7) ≈ 0.7328691 で、確かに erfc(0.7328691) = 1 - 0.7 = 0.3 が成り立ちます。

よくある質問

なぜ y = 0.5 のとき erf^-1 と erfc^-1 が等しくなるのですか？ erfc^-1(0.5) = erf^-1(1 - 0.5) = erf^-1(0.5) となり、引数が一致するのは y = 0.5 のときだけだからです。

定義域の端ではどうなりますか？ erf^-1(±1) = ±∞、erfc^-1(0) = +∞、erfc^-1(2) = -∞ となります。定義域外の入力にはエラーが返されます。

erf^-1 は奇関数ですか？ はい。erf^-1(-y) = -erf^-1(y) が成り立ちます。